ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНЫХ И УГЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ УПРУГОЙ ЛИНИИ БАЛКИ.

Изогнутой осью балки или ее упругой линией называется кривая, в которую превращается прямолинейная ось балки после приложения к ней внешней нагрузки.

Плоский поперечный изгиб характеризуется двумя величинами:

- перемещением f центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки, которое носит название прогиба;

- углом Θ поворота сечения или равным ему углом наклона касательной к упругой линии.

Из курса высшей математики известно, что кривизна кривой АВ в произвольной точке может быть выражена формулой:

При известном уравнении кривой ее кривизна в каждой точке может быть вычислена через первую и вторую производные от этой функции.

Математическую кривизну можно связать с кривизной балки при изгибе:

Кривизна балки прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна ее жесткости.

Приравняем правые части уравнений

Если балка под действием внешних нагрузок имеет значительные перемещения, то дифференциальное уравнение используется для нахождения прогибов и углов поворота балки.

Учитывая, что современные конструкции обладают большой жесткостью, а величина прогиба незначительна по сравнению с длиной, уравнение можно упростить.

Основанием для этого является то, что изогнутая ось балки представляет собой весьма пологую линию. Следовательно, - величина, равная нулю, так как тангенс угла, образованного касательной к кривой с осью Х,

и есть

Вводя это допущение, получаем приближенное дифференциальное уравнение

изогнутой оси балки.

Если дважды проинтегрировать это уравнение, получим уравнение прогибов и углов поворота.

Постоянные интегрирования С и D определяются из граничных условий на концах каждого участка балки.

- для балок с защемленным концом прогиб и угол поворота в заделке равны нулю.

у=0; Θ =0, это граничные условия для определения С и D.

- для двух опорных балок прогибы в левой и правой опорах равны нулю

уА=0; уB =0, это граничные условия для определения С и D.

В 1875 году итальянским ученым Кастельяно была предложена теорема для определения прогибов и углов поворота балки, основанная на вычислении потенциальной энергии деформации.

Максвелл и Мор одновременно предложили способ определения линейного и углового перемещений, который состоит в том, что частные производные заменили действием в искомом сечении единичной силы и единичного момента . Перемещения по теореме Максвелла и Мора при изгибе можно определить интегралом в виде