Задача робастного управления

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Classic_robust_problem.GIF

Каноническая задача робастного управления

Главной задачей синтеза робастных систем управления является поиск закона управления, который сохранял бы выходные переменные системы и сигналы ошибки в заданных допустимых пределах несмотря на наличие неопределённостей в контуре управления. Неопределённости могут принимать любые формы, однако наиболее существенными являются шумы, нелинейности и неточности в знании передаточной функции объекта управления.

Общая каноническая задача робастного управления математически описывается в следующем виде:

Пусть передаточная функция объекта управления — . Необходимо синтезировать такой контроллер с передаточной функцией , чтобы передаточная функция замкнутой системы удовлетворяла следующему неравенству, которое называется критерием робастности:

где

,

— матрица неопределённостей (см. ниже),

— -е сингулярное число матрицы.

можно рассматривать как «размер» наименьшей неопределённости на каждой частоте, которая может сделать систему неустойчивой.

Для того, чтобы внести в робастный синтез требования по качеству управления, используется фиктивная неопределённость . При её отсутствии задача является задачей обеспечения робастной устойчивости.

В робастном анализе требуется найти как границу устойчивости, в робастном же синтезе требуется определить передаточную функцию контроллера для соответствия критерию робастности.

Структурные и неструктурные неопределённости

Аддитивная и мультипликативная неопределённости. В робастном управлении рассматриваются два вида неопределённостей структурные и неструктурные. Неструктурные неопределённости обычно представляют собой элементы, зависящие от частоты, такие как, например, насыщение в силовых приводах или возмущения в низкочастотной области АФЧХ объекта управления. Воздействие неструктурных неопределённостей на номинальный объект управления может быть как аддитивным

так и мультипликативным

Структурные неопределённости представляют собой изменения в динамике объекта управления, к примеру:

· Неопределённости в элементах матриц пространства состояний (A, B, C, D).

· Неопределённости в нулях или полюсах передаточной функции объекта управления.

Общий подход, сформулированный в канонической задаче робастного управления, позволяет выявить на этапе проектирования как структурные, так и неструктурные неопределённости и использовать их в процессе синтеза робастного контроллера.

Робастный анализ

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:M_delta.gif

Структурная схема системы в виде.

Целью робастного анализа является поиск такой неопределённости , при которой система становится неустойчивой. В ходе анализа решаются две задачи:

1. Определение модели неопределённостей

2. Приведение структурной схемы системы к стандартному виду, когда все неопределённости структурно отделяются от номинальной схемы системы.

По теореме о робастной устойчивости система устойчива при любых , удовлетворяющих неравенству

Эта теорема обеспечивает достаточные условия робастной устойчивости. Существуют также специальные методы робастного анализа, такие как диагональное масштабирование или анализ по собственным числам. Следует заметить, что малое изменение никогда не влечёт за собой большое изменение , то есть анализ по сингулярным числам лучше подходит для робастного управления, чем анализ по собственным числам.

Робастный синтез

Целью робастного синтеза является проектирование такого контроллера, который бы удовлетворял критерию робастности. Начиная с 50-х годов XX века был разработан ряд процедур и алгоритмов, позволяющих решить задачу робастного синтеза. Робастные системы управления могут сочетать черты как классического управления, так и адаптивного и нечёткого.

Ниже представлены основные технологии синтеза робастных систем управления: