Погашение задолженности частями

Простые проценты и простой дисконт. Процентные деньги и простой процент

Всякий собственник, имеющий квартиру или гараж, которые он не использует, может сдать их в наем, получая за это определенную плату.

Точно также человек, имеющий деньги, которые он не использует, может их дать взаймы другому лицу (или, используя термин, - инвестировать) за определенное вознаграждение. Доход от инвестированного капитала или, в более узком смысле, вознаграждение за использование денег, называется процентными деньгамиили кратко процентами.Сумма денег, данных взаймы, называется основнойили капиталом.Обычно заем дается на определенное время - период. Сумма процентных и основных денег, полагающаяся в конце периода, называется итогом.В общем случае отношение процента за период к основной сумме (капиталу) называется нормой процента.Эта норма чаще всего выражается в форме процентов, при расчетах используются эквивалентные десятичные дроби. При заключении конкретных сделок для обозначения годовой нормы процента обычно используется другое название - процентная ставка.

Учет фактора времени при проведении финансовых операций осуществляется с помощью методов наращения и дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений.

С помощью этих методов осуществляется приведение денежных сумм, относящихся к различным временным периодам, к требуемому моменту времени в настоящем или будущем. При этом в качестве нормы приведения используется процентная ставка.

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока начисления. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Расчетная формула зависит от вида применяемой процентной ставки и условий наращения.

К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до 1 года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для записи формулы наращения простых процентов примем обозначения;

I - проценты за весь срок ссуды;

P - первоначальная сумма ссуды;

S - наращенная сумма, т.е. сумма в конце срока ссуды;

i - ставка наращения процентов (десятичная дробь);

n - срок ссуды в годах.

Если срок ссуды измеряется в годах (как это обычно и бывает), то i означает годовую процентную ставку. Соответственно каждый год приносит проценты. Начисленные за весь срок проценты составят

I = Pni.

Наращенная сумма, таким образом, находится как

S = P + I = P + Pni = P (1 + ni). (1.1)

Выражение (1.1) называют формулой наращения по простым процентам или кратко — формулой простых процентов, а множитель (1 + ni) - множителем наращения простых процентов.

Пример 1. Определить проценты I и сумму накопленного долга S, если ссуда равна P=700 тыс.руб., срок 4 года, проценты простые по ставке 20% годовых (i= 0,2):

I = 700×4×0,2 = 560 тыс. руб.;

S = 700+560 = 1260 тыс. руб.

Увеличим теперь ставку в два раза. Сумма процентов при этом удвоится, а наращенная сумма увеличится в (1+2×4×0,2 ) /( 1+4×0,2 ) =1,444 раза.

Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд.Поскольку процентная ставка, как правило, устанавливается в расчете за год, то при сроке ссуды менее года необходимо определить, какая часть годового процента уплачивается кредитору. Сходная проблема возникает и в случаях, когда срок ссуды меньше периода начисления.

Рассмотрим наиболее распространенный в практике случай — с годовыми периодами начисления. Очевидно, что срок ссуды необязательно равен целому числу лет. Выразим срок n в виде дроби

n=t/K, (1.2)
где t — число дней ссуды, К — число дней в году, или временная база начисления процентов. При расчете процентов применяют две временные базы: К =360 дней (12 месяцев по 30 дней) или К = 365/366 дней. Если К = 360, то получают обыкновенные или коммерческие проценты, а при использовании действительной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точные проценты. Число дней ссуды также можно измерить приближенно и точно. В первом случае продолжительность ссуды определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням. В свою очередь точное число дней ссуды определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день.

Итак, возможны и применяются на практике три варианта расчета простых процентов:

1.Точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант, естественно, дает самые точные результаты. Данный способ применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками, например, в Великобритании, США. В коммерческих документах он обозначается как 365/365;

2.Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод, иногда называемый банковским, распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, во внутристрановых — во Франции, Бельгии, Швейцарии. Он обозначается, как 365/360.

3.Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Метод условно обозначается как 360/360.

Очевидно, что вариант расчета с точными процентами и приближенным числом дней ссуды лишен смысла и не применяется. Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев, больше приближенного (в чем легко убедиться, определив среднее за год число дней в месяце, которое равно 30,58), то метод начисления процентов с точным числом дней ссуды обычно дает больший рост, чем с приближенным.

В России, применяются как обыкновенные (360/360), так и точные проценты (365/365). В частности, точные проценты используются в официальных методиках ЦБР и МФ РФ для расчета доходности по государственным обязательствам. Начисление по формуле точных процентов требует определения фактического числа дней проведения операции, которое осуществляется по специальным справочным таблицам. Обыкновенные проценты в России используются в основном при проведении операций с векселями.

Применение специальных функций ППП EXCEL позволяет реализовать любой из известных в мировой практике методов начисления процентов, и освобождают аналитика от необходимости использования различных справочных материалов.

Пример 2. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20.01 до 05.10 включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применим все три метода. Предварительно определим число дней ссуды: точное — 258, приближенное — 255.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):

S = 1000 000(1 +(258/365)0,18) = 1 127 233 руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360):

S = 1000 000(1 + (258/360)0,18) = 1 129 000 руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360):

S = 1000 000(1 + (255/360)0,18) = 1 127 500 руб.

Если общий срок ссуды захватывает два смежных календарных года и есть необходимость в делении суммы процентов между ними ( например, при определении годовых сумм доход и т.д.), то общая сумма начисленных простых процентов составит сумму процентов, полученных в каждом году:

I= + = P i+P i,

Здесь и - части срока ссуды, приходящиеся на каждый календарный год.

Переменные ставки.

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:

S=P(1+ + +…+ ) (1.3)

где — ставка простых процентов в периоде t;

n _t— продолжительность периода с постоянной ставкой .

Пример 3. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год— 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года. Находим

I = 1+1×0,16+0,5×0,17+0,5×0,18+0,5×0,19=1,43.

Начисление процентов при изменении сумм депозита во времени.Принципиально ничего не меняется, если сумма, на которую начисляются проценты, изменяет свою величину во времени (размер вклада на сберегательном счете, текущий счет при периодическом его пополнении или снятии денег и т.п.). В этом случае

I= R_j n_j i, (1.4)

где R_j— остаток средств на счете в момент j после очередного поступления или списания средств, n_j— срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете.

В банковско-сберегательном деле обычно применяют следующий способ, основанный на преобразовании (1.4). Для этого измерим интервалы между моментами изменений величины остатка на счете в днях, а процентную ставку выразим в процентах (а не в десятичных дробях как выше). После чего получим

I= R_j*n_j*i=( R_j*t_j/100)/(K/i) (1.5)

Как и прежде К означает число дней в году, a t_j- срок в днях между последовательными изменениями остатков на счете.

Величину R_j*t_j/100 называют процентным числом, а делитель — процентным (или постоянным) делителем.

Пример 4. Движение средств на счете характеризуется следующими данными: 05. 02 поступило 12 млн. руб., 10.07 снято 4 млн. руб. и 20.10 поступило 8 млн. руб. Найти сумму на счете на конец года. Процентная ставка 18% годовых. Процентный делитель составит 365 : 18 = 20,27778. Расчет суммы процентных чисел приведен в следующей таблице.

Сумма процентов за весь срок равна 38,28/20,27778=1,888 (млн. руб.).

Реинвестирование по простым ставкам.В практике, при инвестировании средств в краткосрочные депозиты, иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока. Фактически это означает реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или переменной ставок. Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае

S=P(1+n_1*i₁)(1+n_2*i₂)..(1+n_t*i_t). (1.6)

где i_t— размер ставок, по которым производится реинвестирование.

Если промежуточные сроки начисления и ставки не изменяются во времени, то вместо (1.6) имеем

S=P(1+n_*i)^m, (1.7)

где m- количество повторений реинвестирования.

Пример 5. 100 млн. руб. положены 1-го января на месячный депозит под 20% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется 3 раза? Если начислять точные проценты (365/365), то

S= 100(1+(31/365)0,2)(1+(28/365)0,2)(1+31/365)0,2)=105,013 (млн. руб.)

Начисление обыкновенных процентов (360/360) при реинвестировании дает

S= 100(1+(30/360)_*0,2)³= 105,084 (млн. руб.)

Погашение задолженности частями

Контур финансовой операции. Необходимым условием финансовой или кредитной операции в любой ее форме является сбалансированность вложений и отдачи. Иначе говоря, последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности. В этом случае совокупность платежей точно соответствует условиям сделки. Контур операции может применяться в методических целях при анализе ряда финансовых операций.

Частичные платежи. Краткосрочные обязательства иногда погашаются с помощью ряда промежуточных платежей. В этом случае надо решить вопрос о том, какую сумму надо брать за базу для расчета процентов и каким путем определять остаток задолженности. Существуют два метода решения этой задачи. Первый, который применяется в основном в операциях со сроком более года, называют актуарным методом. Второй метод назван правилом торговца. Он используется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года. Если иное не оговорено, то при начислении процентов в обоих методах используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней (360/360).

Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница (остаток) идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Поступление приплюсовывается к следующему платежу. Задолженность на конец срока должна быть полностью погашена.

Пример 6. Имеется обязательство погасить за 1,5 года (с 12.03.2008 по 12.09.2009 г.) долг в сумме 15 млн. руб. Кредитор согласен получать частичные платежи. Проценты начисляются по ставке 20% годовых. Частичные поступления характеризуются следующими данными (в тыс. руб.):

12.06.2008 г-500;

12.06.2009 г-5000;

30.06.2009г-8000;

12.09.2009г-?

Решение. представим в следующей последовательной записи:

12.03.2008г. долг 15 000

12.06.2008г. долг с процентами 15 750=15000(1+(3/12)0,2)

Поступление -500

(Поскольку поступившая сумма меньше начисленных процентов (750), то она присоединяется к следующему поступлению.)

12.06.2009г. долги с процентами 18 750=15750+15000(1,2)

Поступление 500+5000 -5 500

Остаток долга 13 250

30.06.2009г. долги с процентами 13 382,5

Поступление 8000 -8 000

Остаток долга 5 382,5

12.09.2009г. долги с процентами 5 597,8

Иной подход предусматривается правилом торговца. Здесь возможны два варианта. Если срок ссуды не превышает год, то сумма долга с процентами остается неизменной до полного погашения. В свою очередь накапливаются частичные платежи с начисленными на них до конца срока процентами. Последний взнос должен быть равен разности этих сумм. В случае, когда срок превышает год, указанные выше расчеты делаются для годового периода задолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем голу. Алгоритм можно записать следующим образом:

Q = S-K = P (1 + ni) – ΣR_j(1+ t_j i_j) (1.8)

где Q — остаток долга на конец срока или года; S -наращенная сумма долга; К — наращенная сумма платежей; R_j — сумма частичного платежа; n— общий срок ссуды; t_j— интервал времени от момента платежа до конца срока ссуды или года;

i_j – норма процента за период t_j.

Пример 7. Обязательство (1,5 млн. руб.), датированное 10.08.2008г., должно быть погашено 10.06.2009г. Ссуда выдана под 20% годовых. В счет погашения долга 10.12.2008 г. поступило 800 тыс. руб. Остаток долга на конец срока согласно (1.8) составит

Q=1,5(1+(10/12)0,2)-0,8(1+(6/12)0,2)=0,87 млн. руб.

В свою очередь, при применении актуарного метода получим

Q=(1,5(1+(4/12)0,2)-0,8(1+(6/12)0,2)=0,88 млн. руб.