Распределение Максвелла.
Полная энергия системы равна сумме ее потенциальной и кинетической энергий.
Рассмотрим распределение Больцмана, в котором энергия системы представлена в виде суммы двух слагаемых. По свойству потенциальной функции, выражение можно разложить на произведение двух сомножителей, каждый из которых является функцией определенного вида энергии:
В таком виде выражение называется функцией распределения Максвелла-Больцмана. Сомножитель, зависящий от кинетической энергии, называется функцией Максвелла, а сомножитель, зависящий от потенциальной энергии – функцией Больцмана.
Найдем вероятность того, что молекула имеет скорость в интервале .
Плотность вероятности этого – функция распределения Максвелла.
Определим константу из условия нормировки:
, так как компоненты скорости независимы, то
. Обозначим константу
,
, тогда после замены мы получим табличный интеграл:
, значение интеграла
, отсюда получим
, следовательно:
.
Таким образом - плотность вероятности молекул иметь скорость в интервале от
, распределение молекул по проекциям координат.
Теперь найдем вероятность того, что молекулы имеют скорость в интервале по абсолютному значению (по модулю). Для этого перейдем от распределения проекций скоростей к распределению по модулю скорости. Удобнее переход сделать в системе сферических координат.
Оператор Лапласа дает коэффициент перехода от декартовой системы координат к сферической:
,
Нас интересуют только абсолютные значения, поэтому:
, с учетом вычисленных интегралов:
, отсюда плотность вероятности:
Зная плотность распределения молекул по абсолютному значению скорости, мы можем рассчитать три характеристические скорости движения молекул идеального газа.
Средняя арифметическая скорость:
выделим для замены переменной
сделаем замену переменной
и учтем, значение табличного интеграла: ,
, получим после сокращения констант:
, где
- постоянная Больцмана,
- масса молекулы, преобразуем, умножив числитель и знаменатель дроби на число Авогадро:
, где
- молярная масса компоненты системы.
Результат: - средняя арифметическая скорость движения молекул идеального газа.
Средняя квадратичная скорость:
,
сделаем замену переменной:
, тогда
,
, отсюда
,
, разделим переменные и найдем связь между
и
, подставим полученное значение в дифференциал:
,
.
Подставим все в интеграл:
преобразуем,
, учтем значение табличного интеграла:
, таким образом
- средняя квадратичная скорость.
Наиболее вероятная скорость:
Наиболее вероятная скорость – это скорость, соответствующая максимуму кривой распределения молекул по скоростям, т.е. должно выполнятся условие:
обозначим константу
и найдем производную произведения
так как величина , то должно выполняться условие:
,
,
- скорость наиболее вероятная.
При комнатной температуре средняя арифметическая скорость движения молекул:
, а характеристические скорости водорода в 4 раза больше.
Как посчитать число молекул, скорости которых лежат в заданном диапазоне?
Если - число молекул в единице объема, то
- число молекул, скорости которых распределены в интервале от
до
равно:
, если учесть что
, и введя переменные
,
,
,
то
- такой вид более нагляден, для анализа формы кривой распределения Максвелла. В книгах имеются таблицы интеграла:
с их помощью упрощаются вычисления величины
.
Из таблиц в частности находим, что:
Т.о. большая часть молекул имеет скорости в сравнительно небольшом интервале около наиболее вероятной, а молекул со скоростями вне этого интервала сравнительно мало.
Для экспериментальной проверки было проделано много опытов. Самый известный – опыт Штерна (1920). На оси двух коаксиальных цилиндров ( и
) расположена платиновая нить, покрытая слоем
. Нить нагревали током, серебро испарялось, и его атомы хаотично вылетали по всем радиальным направлениям. При этом они имели и различные скорости движения. Воздух внутри цилиндров откачивался, чтобы столкновения молекул серебра с молекулами воздуха не искажали картину. Атомы серебра равномерно покрывали поверхность внешнего цилиндра, что указывало на равновероятность всех направлений их скорости. Затем во внутреннем цилиндре - узкая щель, диафрагмирующая пучок атомов по направлению (скорости любые по величине). Внешний цилиндр приводили во вращение (
) об/мин.
В зависимости от скорости атомы попадают на разные участки поверхности вращающегося цилиндра, согласно формуле на участок АВ:
Þ
.
Чем больше атомов осаждается на стенке, тем толще пленка. Измеряя толщину пленки, можем определить число атомов, обладающих скоростью, лежащей в некотором диапазоне, т.е. построить диаграмму, которая при сглаживании схожа с кривой распределения Максвелла .
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Распределение Больцмана. | | | Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов. |