Математические модели и методы, применяемые в теории стандартизации

Совместимость – это свойство объектов занимать своё место в сложном готовом изделии и выполнять требуемые функции при совместной или последовательной работе этих объектов и сложного изделия в заданных эксплуатационных условиях.

Стандартизируемые показатели промышленных объектов обычно имеют числовое выражение и образуют в определённых диапазонах последовательность чисел. В результате стандартизации всю совокупность показателей представляют в виде математических рядов (ряды предпочтительных чисел), которые являются теоретической базой обеспечения совместимости в современной стандартизации, что в свою очередь способствует сокращению номенклатуры типоразмеров, выбору рациональных технологических процессов, экономии ресурсов. Предпочтительными числами называются числа, которые рекомендуется выбирать как преимущественные перед всеми другими при назначении величин параметров для вновь создаваемых изделий (производительности, грузоподъёмности, габаритов, чисел оборотов, давлений, температур, напряжений электрического тока, чисел циклов работы и других характеристик проектируемых изделий).

Анализ взаимосвязей параметров изделий в промышленности показал целесообразность использования математических прогрессий в качестве рядов предпочтительных чисел. На практике и в проектно-конструкторских расчётах оказались приемлемыми арифметические прогрессии вида:

a, a+d, a+2d, …, a+(n – 1)d, где d – разность прогрессии.

Они положены в основу образования рядов размеров в строительных стандартах, при установлении размеров изделий в обувной и швейной промышленности. В дизайне это гармонический ряд (числовая последовательность, члены которой подчиняются гармоничной прогрессии, то есть обратные величины которой подчиняются арифметической прогрессии: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, …) и ступенчато-арифметические прогрессии с неодинаковыми разностями прогрессии - это ряд Фибоначчи, где элементы числовой последовательности, каждый следующий член которой равен сумме двух предыдущих (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …); а также

геометрические прогрессии вида:

a, aq, aq, …, aq , где q – знаменатель прогрессии.

Наиболее удобными являются ряды построенные в геометрической прогрессии, n-й член которой равен +/- 10, включающие число 1 и имеющие знаменатель = 10. Ряды предпочтительных чисел стандартизированы ГОСТ 8032 - 84, который разработан в соответствии с рекомендациями ИСО, и устанавливает следующие четыре основных десятичных ряда предпочтительных чисел R5, R10, R20, R40 и два дополнительных R80, R160 (n принимает целые значения в интервале от 0 до R), применение которых допускается только в отдельных технически обоснованных случаях со знаменателями :

10 = 1,5849 = 1,6 для ряда R5 (1,00; 1,60; 2,50; 4,00 …);

10 = 1,2589 = 1,25 для ряда R10 (1,00; 1,25; 1,60; 2,00 …);

10 = 1,1220 = 1,12 для ряда R20 (1,00; 1,12; 1,25; 1,40 …);

10 = 1,0593 = 1,06 для ряда R40; (1,00; 1,06; 1,12; 1,18 …);

10 = 1,03 для ряда R80; (1,00; 1,03; 1,06; 1,09 …);

10 = 1,015 для ряда R160; (1,00; 1,015; 1,03; 1,045 …).

Они являются бесконечными как в сторону малых, так и в сторону больших значений, то есть допускается неограниченное развитие параметров или размеров в направлении увеличения или уменьшения.

Номер ряда предпочтительных чисел (значение R) указывает на количество членов прогрессии (ряда) в одном десятичном интервале ( от 1 до 10). При этом число 1,00 не входит в десятичный интервал как завершающее число предыдущего десятичного интервала (от 0,10 до 1,00). Предпочтительные числа одного ряда могут быть либо только положительными, либо только отрицательными.

Разрешается образование специальных или выборочных рядов путём отбора каждого второго, третьего или n-го члена основного и дополнительного ряда, начиная с любого числа. Обозначения выборочного ряда, после которого ставится косая черта и соответственно число 2, 3, 4, …, n. Если ряд ограничен, обозначение должно содержать члены, ограничивающие его; если же он не ограничен, должен быть указан хотя бы один его член, например:

R5/2 (1 – 1 000 000) – выборочный ряд, составленный из каждого второго члена основного ряда К5, ограниченный членами 1 и 1 000 000;

R10/3 (…80 …) - выборочный ряд, состоящий из каждого третьего значения основного ряда К10, причём начинаться он может с первого, второго или третьего значения, включает член 80 и неограничен в обоих направлениях ;

R20/4 (112 …) - выборочный ряд, составленный из каждого четвёртого члена основного ряда К20, ограниченный по нижнему пределу членом 112;

R40/5 ( … 60) - выборочный ряд, составленный из каждого пятого члена основного ряда К40, ограниченный по верхнему пределу членом 60;

R10/3 - выборочный ряд, состоящий из каждого третьего значения основного ряда К10, причём начинаться он может с первого, второго или третьего значения:

R10 1,00; 1,25; 1,60; 2,00; 2,50; 3,15; 4,00; 5,00; 6,30; 8,00; 10,00; 12,50;

R10/3 1,00; 2,00; 2,50; 4,00; 8,00;

R10/3 1,25; 2,50; 5,00; 10,00;

R10/3 1,60; 3,15; 6,30; 12,50;

Можно составлять специальные ряды с разными знаменателями геометрической прогрессии … в разных интервалах ряда. Геометрическая прогрессия имеет ряд положительных свойств, используемых в стандартизации.

1. Относительная разность между любыми соседними членами ряда постоянна. Это свойство возникает из самой природы геометрической прогрессии. Например, в ряде 1 – 2 – 4 – 8 – 16 – 32 – 64 - … с … = 2 любой член прогрессии больше предыдущего на 100%.
2. Произведение или частное любых членов прогрессии является членом той же прогрессии. Это свойство используется при увязке между собой стандартизированных параметров в пределах одного ряда предпочтительных чисел. Согласованность параметров является важным критерием качественной разработки стандартов. Геометрические прогрессии позволяют согласовывать между собой параметры, связанные не только линейной, но также квадратичной, кубичной и другими зависимостями.

На базе рядов предпочтительных чисел построены ряды нормальных линейных размеров (диаметров, длин, высот и т. п.) ГОСТ 6636 – 69 «Нормальные линейные размеры» для размеров от 0,001 до 100 000 мм. Ряды в этом стандарте обозначены как Ra5, Ra10, Ra 20, Ra40 и Ra80.

В соответствии с ГОСТ 8032 – 84 разрешается в технически обоснованных случаях производить округление предпочтительных чисел путём применения рядов R и R» вместо основных рядов R. В ряду R отдельные предпочтительные числа заменены величинами первой степени округления, а в ряду R» - второй степени округления.

При выборе того или иного ряда учитываются интересы потребителей продукции, но и изготовителей. Частота параметрического ряда должна быть оптимальной: слишком «густой» ряд позволяет максимально удовлетворить нужды потребителей (предприятий, индивидуальных покупателей), но, с другой стороны, чрезмерно расширяется номенклатура продукции, распыляется её производство, что приводит к большим производственным затратам. Поэтому ряд R5 является более предпочтительным по сравнению с рядом R10, а ряд R10 предпочтительнее ряда R20. При этом целесообразно руководствоваться следующим правилом: ряду параметров изделий по R5 должен соответствовать ряд размеров деталей по R10, ряду параметров изделий по R10 – ряд размеров деталей по R20 и т. д.

Отступление от предпочтительных чисел и их рядов допускаются в следующих случаях:

- округление до предпочтительного числа выходит за пределы допускаемой погрешности;

- значения параметров технических объектов следуют закономерности, отличной от геометрической прогрессии.

В порядке исключения, если округление до приведённых чисел связано с потерей эффективности или невозможно по техническим причинам, можно пользоваться предпочтительными числами дополнительных рядов – R80 и R160.

В радиоэлектронике часто применяют предпочтительные числа построенные по рядам Е. Они установлены Международной электротехнической комиссией (МЭК) и имеют следующие значения знаменателя геометрической прогрессии:

для ряда Е3 … = 10 = 2,2; для ряда Е6 … = 10 = 1,5;

для ряда Е12 … = 10 = 1,2; для ряда Е24 … = 10 = 1,1;

Ряды предпочтительных чисел нужно применять не только при стандартизации, но и при выборе номинальных значений параметров в процессе проектирования. Только при такой единой закономерности построения параметров изделий можно согласовывать между собой параметры связанных с ними комплектующих изделий, полуфабрикатов, материалов, транспортных средств, производственного оборудования (по мощности, габаритам и т. п.).

Установленные ГОСТ 8032—84 предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел в еще большей мере обеспечат унификацию значений параметров технических объектов и рег­ламентацию наиболее рационального числа типоразмеров кон­кретных видов продукции.

В машиностроении, приборостроении, технологии художественной обработки материалов предпочтительные числа, принятые за основу при назначении классов точности, размеров, углов, радиусов, канавок, уступов, линейных разме­ров, сокращают номенклатуру режущего и измерительного ин­струмента, кулачков для автоматов, штампов, пресс-форм, при­способлений. Это способствует росту уровня взаимозаменяемо­сти, повышению серийности, технического уровня и качеств выпускаемой продукции, расширению объемов ее производства, улучшению организации инструментального хозяйства на пред­приятиях (объединениях) любой формы собственности. В результате значительно снижается себестоимость изделий. В масштабе всей промышленности мо­жет быть получена весьма весомая экономия.