Закон Стефана-Больцмана и закон Вина.

Задача нахождения функции Кирхгофа – это задача найти зависимость энергии излучения от температуры для различных частот. Решение было получено не сразу. Сначала был установлен теоретически и экспериментально закон зависимости суммарного излучения (энергетической светимости) черного тела от температуры (закон Стефана-Больцмана). Найден весьма точный экспериментальный вид зависимости испускательной способности от частоты и температуры (закон Вина). И, наконец, после ряда неудачных попыток, имеющих огромное значение для понимания вопроса, Планку удалось найти окончательное теоретическое решение задачи. Оно было найдено только путем решительного принципиального изменения основных положений физики, путем создания теории квантов, заложившей принципиально новую базу физической науки. Эта новая теория оказалась столь важной и плодотворной, что дальнейшее развитие ее составило главное содержание теоретической физики на все последующие годы и охватило почти все области науки.

В 1879 г. Стефан на основании анализа собственных измерений и данных других исследователей, пришел к выводу, что энергетическая светимость R любого тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Однако последующие более точные измерения показали ошибочность его выводов.

В 1884 г. Больцман, исходя из термодинамических соображений, теоретически показал, что: энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры

, (1.5)

где σ – постоянная. Таким образом, вывод Стефана оказался справедлив лишь для абсолютно черных тел. Тщательные измерения, проведенные позднее для модели абсолютно черного тела, позволили подтвердить выводы Больцмана и определить постоянную σ. По современным измерениям σ = . Соотношение между энергетической светимостью абсолютно черного тела и его абсолютной температурой получило название закона Стефана-Больцмана, а константа σ – постоянная Стефана-Больцмана.

В 1893 г. Вин теоретически получил ряд важных результатов. Одним из них является закон смещения Вина: частота, соответствующая максимальному значению испускательной способности абсолютно черного тела прямо пропорциональна его термодинамической температуре.

На графике (рис.1) положение максимума функции Кирхгофа смещается, согласно закону Вина, с повышением температуры в область больших частот. Площадь, охватываемая кривой, согласно соотношению (1.3), дает значение энергетической светимости абсолютно черного тела при данной температуре. Видно, что энергетическая светимость сильно

Рис.1 Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела.

возрастает с увеличением температуры, что соответствует закону Стефана-Больцмана. Полученные Вином теоретические результаты полностью согласовывались с результатамиэкспериментов.

В практических целях часто используется другая форма закона смещения Вина: длина волны , соответствующая максимальному значению испускательной способности абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре

(1.6)

Экспериментальное значение константы b =2,90∙10^-3 м∙ К.

5. Формула Рэлея-Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа.

Окружим излучающее тело идеально отражающей оболочкой. В этом случае излучение, испускаемое телом, не будет рассеиваться по пространству, а, отражаясь стенками, сохранится в пределах полости, и, падая вновь на излучающее тело, поглотится им частично или полностью. Следовательно, будет происходить непрерывный обмен энергией между телом и заполняющим оболочку излучением. Если распределение энергии между телом и излучением остается неизменным для каждой длины волны, состояние системы тело-излучение будет равновесным.

В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью u = u(T). Спектральной распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией

(1.7)

где du_ω – доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот dω.

Между равновесной плотностью энергии теплового излучения и испускательной способностью абсолютно черного тела существует следующая связь

, (1.8) где c – скорость распространения электромагнитной волны в вакууме, т.е. скорость света.

Д.Рэлей и Д.Джинс применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы получили формулу (без вывода)

, (1.9)

где kT – средняя энергия осциллятора с собственной циклической частотой.

Выражение (1.9) и называют формулой Релея-Джинса.

Эта формула удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при малых частотах (больших длинах волн) и резко расходится для больших частот (малых длин волн). Интегрирование выражения (1.12) по ω в пределах от 0 до ∞ дает для энергетической светимости тела бесконечно большое значение (см. рис.2). Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, также находится в противоречии с опытом. Расхождение формулы Релея-Джинса с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями классической физики (рис.2).

Рис.2

6. Формула Планка. В 1900 г. Планку удалось найти вид функции u(ω,T) (а следовательно и f(ω,T)), в точности соответствующей опытным данным и впервые дать теоретическое обоснование спектральным закономерностям черного излучения.

В своих расчетах Планк выбрал модель излучающей системы в виде совокупности линейных гармонических осцилляторов со всевозможными собственными частотами. (Напомним, что линейный гармонический осциллятор – это система, совершающая гармонические линейные колебания. Гармоническим осциллятором можно назвать: пружинный маятник, математический маятник, колебательный контур, электрический диполь, стоячую волну внутри полости). По классическим законам излучающий осциллятор может испустить за единицу времени любое количество энергии. При расчете совокупности гармонических осцилляторов, подчиняющимся классическим законам, Планк нашел для функции Кирхгофа, выражение уже известное как формула Рэлея-Джинса. Анализируя полученные результаты, он пришел к выводу, что причина неудачи лежит в неприменимости законов классической физики к атомным осцилляторам, и выдвинул так называемую квантовую гипотезу. Гармонический осциллятор с частотой ω может обладать только таким количеством энергии, в котором содержится целое число элементарных порций ћω. В соответствии с этой гипотезой и излучение осциллятора идет в виде отдельных порций, которые получили название квантов энергии. Величина кванта пропорциональна частоте излучения: ε = ћ ω.Коэффициент пропорциональности получил название постоянной Планка. Значение ћ, определенное из экспериментов, равно: ћ = 1,054 ·10 ^-34 Дж · с.

Учитывая, что распределение осцилляторов по возможным энергетическим состояниям подчиняется закону распределения Больцмана, средняя энергия осциллятора в соответствии с квантовой гипотезой

(1.10)

Для плотности энергии получено выражение

, (1.11)

и в соответствии с (1.8) запишем окончательный вид функции Кирхгофа, полученный Планком

(1.12)

Эта формула точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до ∞.

В области малых частот (или больших длин волн)

в результате чего формула Планка (1.12) переходит в формулу Рэлея-Джинса (1.9). Это показывает, что в области низких частот теория Планка не противоречит классической теории.

Можно убедиться в том, что формула Планка заключает в себе все упомянутые выше законы теплового излучения абсолютно черного тела, а именно законыСтефана-Больцмана и Вина.

Энергетическую светимость R абсолютно черного тела можно найти из интегрированием по частоте:

Вычислив интеграл, получим , т.е. формулу Стефана-Больцмана. Формула Планка позволяет также вычислить экспериментально найденные константы σ и b, используя универсальные постоянные ħ, k и с.

Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание равновесного теплового излучения.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое тепловое излучение?

2. Что такое абсолютно черное тело?

3. Как и во сколько раз изменится энергетическая светимость черного тела, если его термодинамическая температура увеличится втрое?

4. В область каких длин волн сместится максимум испускательной способности абсолютно черного тела при уменьшении термодинамической температуры?

5. В чем состоит ультрафиолетовая катастрофа?

6. При каких условиях из формулы Планка можно получить формулу Рэлея-Джинса?

Лекция № 2.