Построение эпюр крутящих моментов
Крутящий момент в некотором сечении бруса равен сумме моментов всех внешних сил относительно продольной оси Z. Правило знаков для крутящего момента условно: можно считать крутящий момент положительным, если при взгляде со стороны сечения он направлен по часовой стрелке (или против) – рисунок 5.1.
Рисунок 5.1 – Загружение бруса и внутренние усилия при кручении
Момент, передаваемый на вал от двигателя в установившемся режиме, уравновешивается реактивными моментами в шкивах, отбирающих мощность:
;
; (5.1)
Рисунок 5.2 – Загружение вала и построение эпюры крутящих моментов на участках методом сечений
Расчет вала со шкивами при изгибе с кручением подробно рассмотрен в §11.1.
§5.2 Кручение круглого стержня
Каждое сечение круглого стержня при кручении поворачивается как жёсткое целое только в своей плоскости (гипотеза плоских сечений). Методы теории упругости доказывают справедливость этой гипотезы для круглого и кольцевого сечений.
Рассмотрим элементарный участок стержня – цилиндр высотой dz при кручении (рисунок 5.3).
Рисунок 5.3 – Деформации и напряжения в элементарном цилиндре высотой dz при кручении | Рисунок 5.4 – Эпюра касательных напряжений круглого сечения при кручении – линейный закон |
− элементарный угол закручивания оси стержня в пределах длины dz;
− угол сдвига цилиндрической поверхности радиуса r;
− относительный угол закручивания;
.
− закон Гука при сдвиге, ;
− касательные напряжения в поперечном сечении линейного изменяются по радиусу (рисунок 5.4).
;
− полярный момент инерции;
.
− полярный момент сопротивления.
Для круга (рисунок 5.5а):
; .
Для кольца (рисунок 5.5б):
; ; .
Для тонкостенной трубы (рисунок 5.5в):
, , ,
где − средний радиус.
, или
. (5.2)
− жёсткость бруса при кручении;
; (5.3)
.
Рисунок 5.5 – а) круг; б) кольцо; в) тонкостенная труба |
Если в пределах участка длиной l крутящий момент и жёсткость бруса постоянны, то угол закручивания вала на длине участка li находят по формуле:
. (5.4)
Полный угол закручивания вала на нескольких участках равен сумме углов закручивания отдельных участков:
. (5.4а)
Условие жесткости при кручении имеет вид:
. (5.5)
. (5.6)
, где .
Условие прочности при кручении имеет вид:
. (5.7)
Потенциальная энергия при кручении находится по формуле:
; . (5.8)
§5.3 Понятие о кручении стержня прямоугольного сечения
При кручении стержня некруглого сечения гипотеза плоских сечений не выполняется (сечения депланируют), а расчётные формулы касательных напряжений сильно усложняются. Качественную картину удобно изображать потоком касательных напряжений (рисунок 5.6).
Рисунок 5.6 – Поток касательных напряжений при кручении стержня прямоугольного сечения | Рисунок 5.7 – Эпюры касательных |
напряжений по контуру прямоугольного сечения при кручении |
Во внешних углах , во внутренних углах (концентрация напряжений). Для прямоугольного сечения (рисунок 5.7) пользуются обычными формулами:
, (5.9)
, (5.10)
где , , (Беляев, Дарков). (5.11)
, , (Феодосьев, Александров).
Коэффициенты , , ( , , ) приведены в таблицах различных источников в зависимости от отношения сторон (таблица 5.1).
Таблица 5.1 – Коэффициенты для расчета на кручение бруса прямоугольного сечения
([1.11] Дарков А.В., табл. 6.1)
1,5 | 0,140 0,294 0,457 0,790 1,123 1,789 2,456 3,123 | 0,208 0,346 0,493 0,801 1,150 1,789 2,456 3,123 | 0,859 0,795 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 |
§5.4 Определение перемещений и напряжений в витых цилиндрических пружинах
Рассмотрим загружение осевыми растягивающими силами Р витой цилиндрической пружины, изображенной на рисунке 5.8.
Рисунок 5.8 – Загружение витой цилиндрической пружины растягивающей силой Р и внутренние усилия в сечении прутка
При можно считать вертикальное сечение прутка перпендикулярным к его криволинейной оси, тогда , .
|
|
Рисунок 5.9 – Касательные напряжения в сечении прутка пружины от среза и от кручения
- средние касательные напряжения от среза,
- касательные напряжения от крутящего момента (рисунок 5.9).
. (5.12)
При малых диаметрах прутка , тогда
. (5.12а)
Работа А статической силы P на перемещении равна
. (5.13)
Потенциальную энергию U деформации пружины найдём только от крутящих моментов:
, (5.14)
где , n − число рабочих витков пружины (не учитываются витка по концам пружины).
На основании закона сохранения энергии:
, ,
(5.15)
- формула полной осадки пружины.
Жёсткость пружины рассчитывают по формуле:
, . (5.16)
Формула для определения силы Р в пружине по величине ее полной осадки λ имеет вид:
. (5.17)
§5.5 Расчёт заклёпочных, болтовых и сварных соединений
1) Расчёт болтовых и заклёпочных соединений
Рассмотрим симметричный стык с двумя накладками (четное число плоскостей среза) – рисунок 5.10. Справочные данные по механическим характеристикам болтов даны в Приложении 3.
Рисунок 5.10 – Стык с двумя накладками на болтах, работающих на срез |
Все монтажные стыки стальных конструкций должны быть болтовыми [1.7].
Диаметр отверстий D под монтажные болты должен быть на 1÷3 мм больше диаметров болтов d: D-d = (1, 2, 3) мм.
Монтажные болты по ГОСТу выполняются для одних и тех же размеров для нескольких классов прочности, выбитых на головке (Приложение 3).
Классы прочности: .
Расчёт на прочность болтового стыка ведётся по трём состояниям:
1) Разрыв листов (рисунок 5.11а).
, (5.17)
(5.18)
где Fнт - “чистая” площадь нетто ослабленного сечения листа,
n – число болтов в одном поперечном ряду стыка (но не по зигзагу).
«Где тонко – там и рвётся».
.
Рисунок 5.11 – Нагружение элементов болтового стыка: а) разрыв накладок или центрального листа; б) смятие и срез отдельного болта |
2) Срез болтов (рисунок 5.11б)
; (5.19)
; (5.20)
- расчетное сопротивление болтов срезу для данного класса прочности (приложение 3),
n – полное число болтов в стыке,
m – число плоскостей среза для одного болта.
. (5.21)
3) Смятие болтов (рисунок 5.11б)
, (5.22)
, (5.22а)
- расчетное сопротивление смятию элементов, соединяемых болтами (Приложение 3).
; (5.23)
. (5.24)
Распределение напряжений смятия по диаметру, а также касательных напряжений среза по сечению отдельного болта (шпонки, заклепки) принимается равномерным, то есть без учета реальной концентрации напряжений (рисунок 5.12), что нашло хорошее подтверждение в практике эксплуатации данных соединений.
Реальная эпюра контактных напряжений смятия (косинусоида) | Условная эпюра напряжений смятия |
Рисунок 5.12 – Замена реальной эпюры контактных напряжений смятия условной постоянной эпюрой |
Несущая способность стыка равна минимальной допускаемой нагрузке из этих трёх условий прочности.
. (5.25)
В соединениях, где болты работают на отрыв, условие прочности составляется для ослабленного резьбой сечения:
. (5.26)
Значение площадей ослабленных резьбой сечений и расчётных сопротивлений болтов на срез Rbs и растяжение Rbt даны в таблице 58 СНиП 2.23.81* «Стальные конструкции» (см. Приложение 3).
2) Расчёт сварных соединений
Сварные соединения выполняются в заводских условиях, с контролем качества шва. Расчетная длина шва l уменьшается на 1см для учета непровара в конце шва.
Площадь углового сварного шва на срез вычисляется под углом 450 к катету (рисунок 5.14):
,
kf – катет сварного шва.
, (5.27)
, (5.28)
- расчетное сопротивление материала сварного шва на срез (Приложение 3).
Подберём минимальную длину накладок L из условия равнопрочности листов стыка и сварных швов.
, (5.29)
- расчетное сопротивление материала листа на растяжение (Приложение 3).
Рисунок 5.14 – Сварной стык на накладках в разрезе; плоскости среза угловых швов и катет отдельного шва kf | |
Рисунок 5.13 – Конструкция и схема нагружения сварного стыка на накладках |
.
Длина накладок L подбирается из условия равнопрочности сварки на срез и основного металла листов на разрыв.
,
,
, (5.30)
, .
Полную длину накладок L стыка находим по формуле .
Расчёт сварного стыка без накладок (рисунок 5.15)
Длина стыкового сварного шва с учетом непровара (см),
, где t – наименьшая толщина соединяемых элементов.
, (5.31)
- расчетное сопротивление материала шва на растяжение и сжатие (Приложение 3).
, (5.32)
, (5.33)
где - несущая способность стыка из условия прочности листа.
. (5.34)
При надлежащем качестве шва и материала электрода сварной стык, как правило, прочнее основного металла.
|
Рисунок 5.15 – Стыковой сварной шов двух листов
Пример. Расчёт сварного заводского стыка прокатного двутавра I№30Б2 на накладках (ГОСТ 26020-83) – рисунок 5.16.
Рисунок 5.16 – Конструкция сварного заводского стыка прокатного двутавра на накладках
Дано: Балка I№30Б2, сталь С245.
Накладки 1: l1x b1x t1 = 480x180x10, катет сварных швов kf1 = 8 мм.
Накладки 2: l2x b2x t2 = 240x120x6, катет сварных швов kf2 = 5 мм.
Расчетное сопротивление срезу сварного шва для электрода Э42 Rwf = 180 МПа (1850 кгс/см2).
Рассчитать несущую способность стыка на изгиб и на срез и определить запас прочности стыка по сравнению с цельным сечением.
Решение
1) Выполняем расчет несущей способности цельного сечения.
Сталь С245, Ry = 240 МПа (2450 кгс/см2), Rs = 0,58Ry = 1420 кгс/см2.
I30Б2, h = 300, b = 140, d = 6, t = 10, JxI = 7293 см4, WxI = 487,8 см3, Sx0 =273,8см3.
Определяем допускаемые усилия для цельного сечения двутавра I30Б2.
[M]0 = Ry·WxI = 2450 кгс/см2·487,8 см3 = 11,95·105кгс·см = 11,95 тм.
[Q]0 = Rs·Jx·d/Sx0 = 1420 кгс/см2·7293см4·0,6см/273,8 см3 = 22700 кгс = 22,7 т.
2) Выполняем расчет несущей способности сварного стыка. В запас прочности рекомендуется рассчитывать отдельно горизонтальные накладки полок двутавра на изгибающий момент, а вертикальные накладки стенки - на срез.
Рассчитаем момент сопротивления сечения накладок горизонтальных накладок:
F1 = b1·t1 = 18·1 = 18 см2, h0 = h+t1 = 31 см,
,
.
[M]1 = Ry·Wx1 = 2450 кгс/см2 · 540,5 см3 = 13,24 · 105 кгс·см = 13,24 тм.
Рассчитаем площадь сечения вертикальных накладок
F2 = 2t2 · l2 = 2 · 0,6см · 24см = 28, 8 см2.
[Q]1 = Rs · F2 = 1420кгс/см2 · 28,8см2 = 40896 кгс = 40,9 т.
Рассчитаем усилия Т1, приходящиеся на один шов горизонтальных накладок.
,
Длина сварного шва горизонтальных накладок с одной стороны стыка:
lш1 = 215 - 10 = 205 мм ≈ 20 см.
Напряжения в сварном шве горизонтальной накладки:
.
[T]1 = Rwf · 0,7·kf1·lш1 = 1850кгс/см2·0,7·0,8см·20см = 20720 кгс = 20,72 т
[M]2 = [T]1·2h = 20,72т·2·0,3м = 12,43 тм
Рассчитаем усилия Т2, приходящиеся на один шов вертикальной накладки.
Длина сварного шва вертикальной накладки с одной стороны стыка:
lш2 = l2-10 = 240-10 = 230 мм.
Напряжения в сварном шве вертикальной накладки:
[T]2 = Rwf · 0,7 · kf2 · lш2 = 1850кгс/см2 · 0,7 · 0,5см · 23см = 14900 кгс = 14,9 т
[Q]2 = 2[T]2 = 2·14,9т = 29,8 т
Несущая способность стыка на изгиб определяется прочностью на срез сварных швов горизонтальных накладок:
.
Запас прочности на изгиб .
Несущая способность стыка на срез определяется прочностью на срез сварных швов вертикальных накладок:
.
Запас прочности на срез .
Ответ: минимальный коэффициент запаса прочности стыка из условия прочности на изгиб составил nmin = 1,04.
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Ситуационный подход | | |
Дата добавления: 2019-04-03; просмотров: 1775;