Построение эпюр крутящих моментов

 

Крутящий момент в некотором сечении бруса равен сумме моментов всех внешних сил относительно продольной оси Z. Правило знаков для крутящего момента условно: можно считать крутящий момент положительным, если при взгляде со стороны сечения он направлен по часовой стрелке (или против) – рисунок 5.1.

Рисунок 5.1 – Загружение бруса и внутренние усилия при кручении

 

Момент, передаваемый на вал от двигателя в установившемся режиме, уравновешивается реактивными моментами в шкивах, отбирающих мощность:

;

; (5.1)

 

Рисунок 5.2 – Загружение вала и построение эпюры крутящих моментов на участках методом сечений

 

Расчет вала со шкивами при изгибе с кручением подробно рассмотрен в §11.1.

 

§5.2 Кручение круглого стержня

 

Каждое сечение круглого стержня при кручении поворачивается как жёсткое целое только в своей плоскости (гипотеза плоских сечений). Методы теории упругости доказывают справедливость этой гипотезы для круглого и кольцевого сечений.

Рассмотрим элементарный участок стержня – цилиндр высотой dz при кручении (рисунок 5.3).

Рисунок 5.3 – Деформации и напряжения в элементарном цилиндре высотой dz при кручении Рисунок 5.4 – Эпюра касательных напряжений круглого сечения при кручении – линейный закон

 

− элементарный угол закручивания оси стержня в пределах длины dz;

− угол сдвига цилиндрической поверхности радиуса r;

− относительный угол закручивания;

.

− закон Гука при сдвиге, ;

− касательные напряжения в поперечном сечении линейного изменяются по радиусу (рисунок 5.4).

;

− полярный момент инерции;

.

− полярный момент сопротивления.

Для круга (рисунок 5.5а):

; .

 

Для кольца (рисунок 5.5б):

; ; .

 

Для тонкостенной трубы (рисунок 5.5в):

, , ,

где − средний радиус.

, или

. (5.2)

− жёсткость бруса при кручении;

; (5.3)

.

 

Рисунок 5.5 – а) круг; б) кольцо; в) тонкостенная труба

 

Если в пределах участка длиной l крутящий момент и жёсткость бруса постоянны, то угол закручивания вала на длине участка li находят по формуле:

. (5.4)

Полный угол закручивания вала на нескольких участках равен сумме углов закручивания отдельных участков:

. (5.4а)

Условие жесткости при кручении имеет вид:

. (5.5)

. (5.6)

, где .

Условие прочности при кручении имеет вид:

. (5.7)

Потенциальная энергия при кручении находится по формуле:

; . (5.8)

§5.3 Понятие о кручении стержня прямоугольного сечения

При кручении стержня некруглого сечения гипотеза плоских сечений не выполняется (сечения депланируют), а расчётные формулы касательных напряжений сильно усложняются. Качественную картину удобно изображать потоком касательных напряжений (рисунок 5.6).

  Рисунок 5.6 – Поток касательных напряжений при кручении стержня прямоугольного сечения   Рисунок 5.7 – Эпюры касательных
  напряжений по контуру прямоугольного сечения при кручении

 

Во внешних углах , во внутренних углах (концентрация напряжений). Для прямоугольного сечения (рисунок 5.7) пользуются обычными формулами:

 

, (5.9)

 

, (5.10)

где , , (Беляев, Дарков). (5.11)

, , (Феодосьев, Александров).

Коэффициенты , , ( , , ) приведены в таблицах различных источников в зависимости от отношения сторон (таблица 5.1).

 

Таблица 5.1 – Коэффициенты для расчета на кручение бруса прямоугольного сечения

([1.11] Дарков А.В., табл. 6.1)

1,5 0,140 0,294 0,457 0,790 1,123 1,789 2,456 3,123 0,208 0,346 0,493 0,801 1,150 1,789 2,456 3,123 0,859 0,795 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742

 

§5.4 Определение перемещений и напряжений в витых цилиндрических пружинах

Рассмотрим загружение осевыми растягивающими силами Р витой цилиндрической пружины, изображенной на рисунке 5.8.

Рисунок 5.8 – Загружение витой цилиндрической пружины растягивающей силой Р и внутренние усилия в сечении прутка

При можно считать вертикальное сечение прутка перпендикулярным к его криволинейной оси, тогда , .

Рисунок 5.9 – Касательные напряжения в сечении прутка пружины от среза и от кручения

- средние касательные напряжения от среза,

- касательные напряжения от крутящего момента (рисунок 5.9).

. (5.12)

При малых диаметрах прутка , тогда

. (5.12а)

Работа А статической силы P на перемещении равна

. (5.13)

Потенциальную энергию U деформации пружины найдём только от крутящих моментов:

, (5.14)

где , n − число рабочих витков пружины (не учитываются витка по концам пружины).

На основании закона сохранения энергии:

, ,

(5.15)

- формула полной осадки пружины.

Жёсткость пружины рассчитывают по формуле:

, . (5.16)

Формула для определения силы Р в пружине по величине ее полной осадки λ имеет вид:

. (5.17)

 

§5.5 Расчёт заклёпочных, болтовых и сварных соединений

1) Расчёт болтовых и заклёпочных соединений

 

Рассмотрим симметричный стык с двумя накладками (четное число плоскостей среза) – рисунок 5.10. Справочные данные по механическим характеристикам болтов даны в Приложении 3.

Рисунок 5.10 – Стык с двумя накладками на болтах, работающих на срез

 

Все монтажные стыки стальных конструкций должны быть болтовыми [1.7].

Диаметр отверстий D под монтажные болты должен быть на 1÷3 мм больше диаметров болтов d: D-d = (1, 2, 3) мм.

Монтажные болты по ГОСТу выполняются для одних и тех же размеров для нескольких классов прочности, выбитых на головке (Приложение 3).

Классы прочности: .

Расчёт на прочность болтового стыка ведётся по трём состояниям:

1) Разрыв листов (рисунок 5.11а).

, (5.17)

 

(5.18)

где Fнт - “чистая” площадь нетто ослабленного сечения листа,

n – число болтов в одном поперечном ряду стыка (но не по зигзагу).

«Где тонко – там и рвётся».

.

Рисунок 5.11 – Нагружение элементов болтового стыка: а) разрыв накладок или центрального листа; б) смятие и срез отдельного болта

 

2) Срез болтов (рисунок 5.11б)

; (5.19)

; (5.20)

- расчетное сопротивление болтов срезу для данного класса прочности (приложение 3),

n – полное число болтов в стыке,

m – число плоскостей среза для одного болта.

. (5.21)

 

3) Смятие болтов (рисунок 5.11б)

, (5.22)

, (5.22а)

- расчетное сопротивление смятию элементов, соединяемых болтами (Приложение 3).

; (5.23)

. (5.24)

Распределение напряжений смятия по диаметру, а также касательных напряжений среза по сечению отдельного болта (шпонки, заклепки) принимается равномерным, то есть без учета реальной концентрации напряжений (рисунок 5.12), что нашло хорошее подтверждение в практике эксплуатации данных соединений.

 

Реальная эпюра контактных напряжений смятия (косинусоида) Условная эпюра напряжений смятия
Рисунок 5.12 – Замена реальной эпюры контактных напряжений смятия условной постоянной эпюрой

 

Несущая способность стыка равна минимальной допускаемой нагрузке из этих трёх условий прочности.

. (5.25)

В соединениях, где болты работают на отрыв, условие прочности составляется для ослабленного резьбой сечения:

. (5.26)

Значение площадей ослабленных резьбой сечений и расчётных сопротивлений болтов на срез Rbs и растяжение Rbt даны в таблице 58 СНиП 2.23.81* «Стальные конструкции» (см. Приложение 3).

 

2) Расчёт сварных соединений

 

Сварные соединения выполняются в заводских условиях, с контролем качества шва. Расчетная длина шва l уменьшается на 1см для учета непровара в конце шва.

Площадь углового сварного шва на срез вычисляется под углом 450 к катету (рисунок 5.14):

,

kf – катет сварного шва.

 

, (5.27)

 

, (5.28)

- расчетное сопротивление материала сварного шва на срез (Приложение 3).

Подберём минимальную длину накладок L из условия равнопрочности листов стыка и сварных швов.

, (5.29)

- расчетное сопротивление материала листа на растяжение (Приложение 3).

  Рисунок 5.14 – Сварной стык на накладках в разрезе; плоскости среза угловых швов и катет отдельного шва kf  
Рисунок 5.13 – Конструкция и схема нагружения сварного стыка на накладках  

 

.

Длина накладок L подбирается из условия равнопрочности сварки на срез и основного металла листов на разрыв.

,

,

, (5.30)

, .

Полную длину накладок L стыка находим по формуле .

Расчёт сварного стыка без накладок (рисунок 5.15)

 

Длина стыкового сварного шва с учетом непровара (см),

, где t – наименьшая толщина соединяемых элементов.

, (5.31)

- расчетное сопротивление материала шва на растяжение и сжатие (Приложение 3).

, (5.32)

, (5.33)

где - несущая способность стыка из условия прочности листа.

. (5.34)

При надлежащем качестве шва и материала электрода сварной стык, как правило, прочнее основного металла.

 

 

 

Рисунок 5.15 – Стыковой сварной шов двух листов

Пример. Расчёт сварного заводского стыка прокатного двутавра I№30Б2 на накладках (ГОСТ 26020-83) – рисунок 5.16.

Рисунок 5.16 – Конструкция сварного заводского стыка прокатного двутавра на накладках

Дано: Балка I№30Б2, сталь С245.

Накладки 1: l1x b1x t1 = 480x180x10, катет сварных швов kf1 = 8 мм.

Накладки 2: l2x b2x t2 = 240x120x6, катет сварных швов kf2 = 5 мм.

Расчетное сопротивление срезу сварного шва для электрода Э42 Rwf = 180 МПа (1850 кгс/см2).

Рассчитать несущую способность стыка на изгиб и на срез и определить запас прочности стыка по сравнению с цельным сечением.

Решение

1) Выполняем расчет несущей способности цельного сечения.

Сталь С245, Ry = 240 МПа (2450 кгс/см2), Rs = 0,58Ry = 1420 кгс/см2.

I30Б2, h = 300, b = 140, d = 6, t = 10, JxI = 7293 см4, WxI = 487,8 см3, Sx0 =273,8см3.

Определяем допускаемые усилия для цельного сечения двутавра I30Б2.

[M]0 = Ry·WxI = 2450 кгс/см2·487,8 см3 = 11,95·105кгс·см = 11,95 тм.

[Q]0 = Rs·Jx·d/Sx0 = 1420 кгс/см2·7293см4·0,6см/273,8 см3 = 22700 кгс = 22,7 т.

2) Выполняем расчет несущей способности сварного стыка. В запас прочности рекомендуется рассчитывать отдельно горизонтальные накладки полок двутавра на изгибающий момент, а вертикальные накладки стенки - на срез.

Рассчитаем момент сопротивления сечения накладок горизонтальных накладок:

F1 = b1·t1 = 18·1 = 18 см2, h0 = h+t1 = 31 см,

,

.

[M]1 = Ry·Wx1 = 2450 кгс/см2 · 540,5 см3 = 13,24 · 105 кгс·см = 13,24 тм.

Рассчитаем площадь сечения вертикальных накладок

F2 = 2t2 · l2 = 2 · 0,6см · 24см = 28, 8 см2.

[Q]1 = Rs · F2 = 1420кгс/см2 · 28,8см2 = 40896 кгс = 40,9 т.

Рассчитаем усилия Т1, приходящиеся на один шов горизонтальных накладок.

,

Длина сварного шва горизонтальных накладок с одной стороны стыка:

lш1 = 215 - 10 = 205 мм ≈ 20 см.

Напряжения в сварном шве горизонтальной накладки:

.

[T]1 = Rwf · 0,7·kf1·lш1 = 1850кгс/см2·0,7·0,8см·20см = 20720 кгс = 20,72 т

[M]2 = [T]1·2h = 20,72т·2·0,3м = 12,43 тм

Рассчитаем усилия Т2, приходящиеся на один шов вертикальной накладки.

Длина сварного шва вертикальной накладки с одной стороны стыка:

lш2 = l2-10 = 240-10 = 230 мм.

Напряжения в сварном шве вертикальной накладки:

[T]2 = Rwf · 0,7 · kf2 · lш2 = 1850кгс/см2 · 0,7 · 0,5см · 23см = 14900 кгс = 14,9 т

[Q]2 = 2[T]2 = 2·14,9т = 29,8 т

Несущая способность стыка на изгиб определяется прочностью на срез сварных швов горизонтальных накладок:

.

Запас прочности на изгиб .

Несущая способность стыка на срез определяется прочностью на срез сварных швов вертикальных накладок:

.

Запас прочности на срез .

Ответ: минимальный коэффициент запаса прочности стыка из условия прочности на изгиб составил nmin = 1,04.


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Ситуационный подход | 




Дата добавления: 2019-04-03; просмотров: 1775;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.082 сек.