Анализ вариограмм и кригинг.

Когда мы оцениваем достаточно однородный участок залежи, то наши оценки могут быть точными. Если массив неоднородный то точность прогноза будет снижаться, независимо от метода интерполяции. С помощью метода скользящего окна мы можем для каждого участка массива вычислить среднее и стандартное отклонение и получить карту, содержащую эти данные. По этой карте мы можем судить, как изменяются наши оценки. Существует 4 разновидности изменений этих оценок:

1. Местные оценки среднего значения переменной и изменчивости сохраняются в пределах залежи - постоянными.

2. Среднее значение изменяется, есть тренд, а изменчивость постоянна.

3. Среднее значение постоянно, а изменчивость характеризуется трендом.

4. Среднее значение и изменчивость - непостоянны.

Для оценки параметров первые 2 случая наиболее предпочтительны, результаты интерполяции получаются более надежными.

На практике часто встречаются 3 и 4 случаи, характеризующиеся изменением стандартного отклонения переменной, более того встречается и ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ. Это можно увидеть на корреляционном графике среднее – стандартное отклонение, но он может исчезнуть, если мы попытаемся привести наше распределение к нормальному виду. Пропорциональный эффект наблюдается иногда при логнормальном распределении.

Поскольку поступающая к нам информация собрана по ограниченному количеству наблюдений, то требуется модель, с помощью которой можно извлечь информацию о точках пространства, где не было опробование.

Существует несколько путей построения таких моделей.

Геолого-генетические модели. Это наиболее перспективный путь развития науки – моделирование процессов, приведших к формированию месторождений. Однако процессы, приводящие к формированию рудных залежей очень сложны для понимания, и трудно учесть все факторы, которые приводили к формированию руд, и в настоящее время развитие этого направления еще не достигло уровня, необходимого для оценки показателей в блоках модели.

Модели поверхностей тренда. Основное предположение, лежащее в основе регрессионных методов, заключается в том, что все данные можно описать полиномами с добавлением компонента случайной ошибки. Геологические переменные отображают значительное количество мелкомасштабных процессов, которые накладываются на крупномасштабные процессы, достоверно описываемые уравнениями тренда. Утверждение о существовании случайной ошибки, означает, что функция имеет много тригонометрических выражений, описывающих колебания и повороты переменной. Основной идеей геостатистики является, что лучше анализировать корреляции между значениями в точках расположенных на определенных расстояниях друг от друга. Лучший путь представления реальности – это введение случайной компоненты в выражение флуктуации вокруг установленной поверхности, названной Матероном дрифтом, что бы избежать конфликта с термином тренд. Флуктуации не являются ошибками в чистом виде, а скорее компонентами функции с собственной структурой. Матерон ввел понятие пространственная переменная. Допускается, что приращение случайной функции является слабостационарным, что означает, что среднее и дисперсия изменяются, но слабо, априорно функция стационарна, то есть среднее является константой. Связи между значениями в точках наблюдения можно анализировать с помощью автокорреляции. Мы имеем данные замеров, или данные опробования в точках наблюдения по какой либо выработке или скважине. Мы можем задаться вопросом – существуют, или можно ли выявить какие либо закономерности в этих замерах. Возможно, в этих данных мы можем увидеть повторения, если проводился гамма-каротаж, например осадочных пород и в разрезе уже, было замечено наличие циклотем или выявить другие закономерности.

Закономерности можно установить с помощью вычисления меры сходства между членами этой последовательности, то есть последовательность сравнивается сама с собой в последовательных положениях и вычисляется степень сходства в перекрывающих интервалах. Это достигается путем смещения ряда данных относительно самого себя. Расстояние между двумя одинаковыми точками в смещенной и несмещенной части называется лагом длины. Лаг длины - это смещение ряда данных относительно себя самого в предшествующий момент времени. Ряд данных, может быть, сдвинут относительно себя самого на 1 лаг, 2 лага, 3 лага и так далее. Минимальная длина лага может быть принята равной расстоянию между наиболее приближенными пробами. Если сравнивать, таким образом, ряд данных с самим собой, то можно обнаружить в каких-то положениях хорошее соответствие или сходство, в других позициях можно обнаружить наибольшее несходство. За меру сходства можно принять автоковариацию, в этом случае автоковариация с лагом 0 будет просто дисперсией.

На рисунке изображена автоковариация данных, отображенных на графике.

Имеется соглашение о том, что автоковариация вычисляется для лагов от 0 до примерно n\4. Полученный график называют автоковариограммой или автоковариационной функцией, которая представляет зависимость автоковариации от лага. Если автоковариацию данных стандартизировать то мы получим автокорреляцию, а автокорреляционные графики будут называться коррелограммами.

В отличие от предыдущей функции она быстро убывает от 1 с нулевым лагом (так как корреляция ряда с самим собой при лаге равным 0 всегда равна 1) до 0 и колеблется возле 0.

На графике отражены примеры идеализированных рядов данных и их автокорреляционные функции.

Первая модель отражает синусоидальную волну, вторая модель отражает набор случайных чисел, третья модель отражает возрастающую по линейному закону последовательность чисел, четвертая представляет синусоидальную волну и наложенный на нее шум, пятая модель представляет синусоидальную волну с наложенным случайным шумом, имеющую линейный тренд.

Главная цель геостатистики состоит в исследовании при оценке изменений содержаний компонентов в рудном теле. Ключевое понятие геостатистики это понятие регионализованной переменной, которая имеет свойства, промежуточные между свойствами случайных величин и полностью детерминированных величин. В отличие от случайных величин регионализованные переменные непрерывны от точки к точке, но изменения их настолько сложны, что они не могут быть описаны какой-либо регулярной детерминированной функцией. Мы знаем только значения функции в точках опробования, а именно в пробах, а размер проб, их ориентация, пространственное размещение составляют базу регионализованной переменной, и если происходят изменения, хотя бы одного из этих параметров, то и регионализованная переменная будет иметь другие характеристики. Как и любая другая теория геостатистика имеет свою область применения и не может использоваться эффективно одинаково во всех случаях. Чтобы эффективно использовать геостатистику нужно, чтобы была достаточно надежно установлена автокорреляционная связь изучаемых компонентов в пространстве и отсутствие в данном пространстве резких изменений. Основным инструментом геостатистики является полувариограмма или вариограмма, она и используется для установления надежной пространственной корреляции между реальными результатами опробования компонентов. Вариограмма есть мера степени пространственной зависимости между пробами в заданном направлении, и определяется формулой –

𝛾_h=1/2n*∑(𝑥_i−𝑥_i+h)²

Если мы вычислим значения для разных h или другими словами лагов, то значения мы можем нанести на график. Когда лаг равен 0, то и значение вариограммы равно 0. По мере увеличения ∆h сравниваемые части становятся все менее похожими друг на друга и это приводит к большим значениям вариограммы, в конце концов, значение вариограммы достигнет значения дисперсии, и больше не будет расти и вариограмма перейдет в плоскую область, которая называется порогом, то есть пологая часть вариограммы называется порогом (sill). Расстояние, на котором кривая вариограммы приближается к дисперсии, называется рангом (range) или размахом регионализованной переменной, это расстояние определяет окрестность, в пределах которой все значения исследуемого компонента связаны друг с другом. В российской литературе это расстояние принято называть зоной влияния.

После того как вариограмма достигает ее ограничивающего значения - порога, корреляции между пробами нет. В пределах этой окрестности регионализованная переменная во всех наблюдаемых точках связана с регионализованной переменной в центральной точке и следовательно может быть использована для оценки ее значения. Если мы используем множество измерений, сделанных внутри этой области для оценки значения регионализованной переменной в центральной точке, то вариограмма обеспечит собственные веса, которые должны быть приписаны каждому измерению.

Значение вариограммы равно не только среднему квадрату разности для пар точек расположенных на некотором расстоянии друг от друга, но вариограмма может быть определена, как и дисперсия этих разностей,

но так как средние 𝑥_i и 𝑥_i+h равны, то формула сокращается до

𝛾_h=1/2n*∑(𝑥_i−𝑥_i+h)²

В большинстве случаев вариограмма является зеркальным отражением автоковариационной функции и определяется как разность значений дисперсий и ковариаций для данного интервала расстояний. Если вариограмма еще и стандартизирована и среднее равно 0, а дисперсия равна 1, то вариограмма становится зеркальным отражением автокорреляции.

Для стационарных переменных значение вариограммы на расстояние больше зоны влияния эквивалентно дисперсии. Не все вариограммы достигают порога, некоторые из них продолжают возрастать с увеличением расстояния. Это свойство является фундаментальным отличием вариограммы от автоковариационной функции, последняя функция существует только для стационарных переменных и поэтому ограничена.

Безпороговая вариограмма указывает на наличие сильного тренда в массиве данных (нужно каким-то образом убрать тренд).

Примеры расчета вариограмм для одномерного, двухмерного и трехмерного случаев приведены на следующих рисунках № .

Рис.№ . Пример расчета вариограммы для одномерного случая.

Рис.№ . Пример расчета вариограммы для двухмерного случая.

Рис.№ . Пример расчета количества комбинаций при расчете вариограмм в трехмерном пространстве.

Наиболее важно изучить поведение вариограммы для малых значений h, так как это связано с непрерывностью и пространственной регулярностью исследуемой переменной. На рисунках отражены 5 типов поведения вариограммы в начале.

1.Квадратичный. Этот тип показывает, что пространственная переменная имеет высокую непрерывность, а функция дифференцируема. Квадратичная форма указывает на присутствие тренда.

2.Линейный. Пространственная переменная непрерывна, но не дифференцируема и таким образом менее регулярная (непрерывная), чем предыдущая.

3.С разрывом в начале. Функция не стремится к нулю, при значениях h близких к нулю. Это означает, что переменная в высокой степени нерегулярна (не непрерывная) на малых расстояниях. Вариограммы большинства геологических переменных имеют, как правило, разрыв в начале графика. Это явление называется эффектом самородков (nugget effect) – это явление впервые было отмечено на одном из месторождений Южной Африки, где его связали с присутствием в руде самородков золота. Наличие такого эффекта означает, что содержание компонента может резко меняться на близких расстояниях. Обычно это связано с присутствием в пробах золоторудных месторождений свободного и связанного золота. Связанное золото в минералах изменяется плавно и равномерно распределено в пробах, а свободное золото находится в пробах дискретно. В связи, с этим на близких расстояниях или в точках опробования близко расположенных друг другу может резко меняться значение компонента.

4. Плоский.Чисто случайная функция или “белый” шум. Пространственные переменные
𝑥_i и 𝑥_i+h не коррелируются для всех значений h это предельный случай полного отсутствия, какой либо структуры. Такой случай называют еще чистым эффектом самородков, кроме этого такая структура может возникнуть при больших расстояниях, между пробами, когда месторождение разведано редкой сетью опробования. Если вариограмма представляет собой чистый эффект самородков, то применение интерполяции с помощью кригинга в данном случае бессмысленно, так как между пробами отсутствует корреляционная связь, но вполне допустимо проводить интерполяцию методом обратных расстояний.

5. Типичная.Типичная вариограмма показывает, что содержание компонента непрерывно изменяется без каких-либо скачков в зоне влияния. Рисунок этой вариограммы приведен ранее и сейчас.

Рис.№ . Типичная вариограмма, она достигает порога (sill), на расстоянии называемой зоной влияния (range).

Не менее интересно изучение вариограммы, после того как ее значения достигнут порога, нередко в этой области можно увидеть так называемый “эффект включений”. Часто он говорит о зональности, то есть о чередовании богатых и бедных руд. Обычно этот эффект характеризуется относительной амплитудой, которая определяется отношением максимального значения вариограммы (на гребне) к ее порогу. Размер неоднородностей можно вычислить по графику.

Рис.№ . Эффект включений на вариограмме.

Однако наиболее общая причина, что эта периодичность может быть связана с статистическими флуктуациями из-за недостаточного количества данных при вычислении вариограммы. Этот эффект еще называют “скважинным эффектом”.

Вложенные структуры.На вариограммах иногда можно увидеть вложенные структуры. На рисунке более длинная зона влияния, очевидно, является вложенной дополнительной структурой, потому что вариограмма достигает порога на этом расстоянии.

Рис.№ Вложенная структура, составленная из структур с короткой и длинной зонами влияния.

Более короткую зону влияния можно распознать по характерному изменению кривизны функции. Вложенные структуры указывают на процессы, которые происходили в различных масштабах. Это может быть наличие на месторождении разных типов руд с разными минеральными ассоциациями. Однако вложенные структуры могут наблюдаться из-за пропорционального эффекта – это нужно проверять. Самый легкий способ установить есть ли в массиве данных пропорциональный эффект построить график зависимости стандартного отклонения от средних значений для разных горизонтов, участков месторождения.

Присутствие тренда.Теория говорит, что для стационарных переменных вариограмма возрастает медленнее, чем квадрат расстояний для больших дистанций. На практике часто встречается, что вариограмма возрастает быстрее, чем h². В этом случае экспериментальная (необработанная или сырая) вариограмма увеличивает оценку, в отличие от действительной основной вариограммы.

Рис.№ . Вид вариограммы, свидетельствующий о наличии тренда.

Экспериментальная вариограмма равна основной вариограмме плюс параметр смещения в квадрате. Если присутствует тренд, то эмпирическая (экспериментальная) вариограмма переоценивает основную вариограмму. Если наличие тренда установлено, то его влияние на оценку должно быть устранено.

Один из способов оценки запасов при наличии тренда – это аппроксимация поверхности тренда полиномиальной функцией и расчет отклонений анализируемого показателя массива проб от этой поверхности. После рассчитывается экспериментальная вариограмма для остатков, к ней подбирается пространственная модель, а затем проводится интерполяция значений остатков путем обычного кригинга. На завершающем этапе полученные оценки остатков складываются со значениями поверхности тренда.

Анизотропия.Если вариограмма меняется от направления, то это говорит о наличие анизотропии на месторождении. Выделяются два типа анизотропии: геометрическую анизотропию и зональную анизотропию. Геометрическая анизотропия.На рисунке изображены примеры геометрической анизотропии.

В одном случае вариограммы имеют одинаковый порог в обоих направлениях, но зоны влияния различны, в другом случае обе функции линейны, но имеют разные углы наклона. Если анизотропию можно представить в виде эллипса, то такая анизотропия называется геометрической (аффинная) анизотропией. Что бы убрать геометрическую анизотропию нужно определить коэффициент анизотропии

k=range1/range2 или k=slope1/slope2

Простейшими преобразованиями (разворот системы координат и применение масштабного коэффициента) эллипс превращается в окружность и анизотропия устраняется. Если уравнение вариограммы в направлении 1 обозначить как _𝛾1(h), то конечная вариограмма после исправления будет иметь вид -

_𝛾(h)= _𝛾1(√h₁²+k² h₂²)

Но лучше для поиска анизотропии исследовать не два направления, а минимум 4 направления как показано на рисунке.

Рис.№ . Расположение и разворот главных осей эллипса в случае геометрической анизотропии.

Если вычислять анизотропию только в двух направлениях, то ее можно не обнаружить.

Зональная анизотропия.Если мы опробовали зональные стратифицированные руды или первоначально в выборке присутствовали результаты проб различных способов опробования, например в выборке присутствовали результаты бороздового, задиркового, и валового способов опробования то в этом случае с большой вероятностью мы можем получить многопороговые вариограммы. То есть в разных направлениях вариограммы будут взбираться на пороги разной высоты. В этом случае мы будем иметь зональную анизотропию. Что бы не получить зональную анизотропию нужно что бы выборка была однородной.

Анализ исходной информации.На первом этапе обработки информации нужно знать ответы на следующие вопросы: какие виды опробования использовались, какое количество проб было выполнено, какие типы анализов проводились и в каких лабораториях, были ли изменения в процедуре опробования во время изучения месторождения, не привлекались ли в разные периоды другие буровые компании, не изменялся ли тип геофизического, каротажного оборудования, является ли исследуемая геологическая область однородной или содержит разные типы руд, разделенные во времени или рудные тела разделены крупными тектоническими нарушениями. Далее нужно решить вопрос, стационарны ли исследуемые переменные, что является основанием данных, являются ли они аддитивными, с какими данными работать с самими переменными или их производными. Геостатистический термин “основание” относится к форме, размеру, объему единичной пробы. Первоначальный объем пробы может быть различный при разных видах опробования. Аддитивные переменные это те переменные, которые распределяются нормально, то есть среднеарифметическое рудной залежи равно среднеарифметическому значению всех проб расположенных в данной залежи. Среднеарифметическое содержание дает ложную оценку, если использовались пробы разной длины, что бы избежать этого ранее использовалось преобразование названное аккумуляцией, когда содержание умножалось на мощность пласта, то есть определялся “линейный запас”. Обычно пробы путем композирования приводят к среднему значению длины проб в массиве данных или к высоте реального уступа. При этом можно получить в результате с учетом выделения безрудных прослоев по предполагаемым горным кондициям новые рудные интервалы. Если размеры таких интервалов неодинаковы, то для построения вариограммы и ее анализа можно использовать “линейный запас”, то есть произведение среднего показателя содержания компонента на данный интервал на размер интервала или мощность залежи. В таких случаях мы получаем более надежную вариограмму. Только полученные оценки в блоках метропроцента или метрограмма в элементарных блоках, после интерполяции (после кригинга) нужно будет разделить на интерполированную оценку мощности рудного тела в данном элементарном блоке. При построении вариограмм нужно обратить внимание, что размер лага должен быть не более половины расстояния между пробами и допуск лага (расстояние по обе стороны от лага) должен составлять половину от длины лага, если размер лага будет больше, то вариограмма будет подниматься выше порога. Количество проб для расчета значения вариограммы не должно быть не больше 23-25. Сначала нужно строить вариограмму под 90 градусом, а затем пространство разделить на сектора при вершине 30-60 градусов и все пространство исследовать с помощью построения вариограмм в разных направлениях для поиска анизотропии.

Подбор моделей вариограмм.Экспериментальные вариограммы можно непосредственно использовать для решения некоторых геологоразведочных задач. Но ее сложно использовать для интерполяции, так как значения функции дается только в точках вариограммы, для решения интерполяционных задач необходима информация о значениях вариограммы в любых ее точках. Поэтому дискретная экспериментальная вариограмма должна быть аппроксимирована непрерывной функцией. Опыт подсказывает, что аналитическая форма модели не так важна, как ее главные свойства, такие как эффект самородков, наклон линии в начале, зона влияния, порог, анизотропия.

В геостатистике используются для аппроксимирования несколько функций, сферическая, экспоненциальная, модель Гаусса, которые получили наибольшее распространение и беспороговые модели – линейная и модель Де Вийса (логарифмическая модель). Они отражены на рисунке.

Типичная вариограмма, она достигает порога (sill), на расстоянии называемой зоной влияния (range).

Рис.№ . Пороговые модели вариограмм: 1-сферическая, 2-Гаусса, 3-Экспоненциальная.

Сферической моделью из опыта может быть аппроксимировано более 80% всех вариограмм, эта модель имеет линейное поведение в начале координат и порог обычно равный дисперсии. Касательная, проведенная к этой функции от начала координат пересекает линию порога на расстоянии двух зон влияния, деленной на три. Экспоненциальная модель похожа на сферическую модель, она достигает порога на расстоянии трех зон влияния. Модель Гаусса имеет параболическое поведение в начале координат, редко используется на практике. Часто приходится иметь дело с несколькими структурами изменчивости (не более 3), которые описываются различными моделями. Для каждой структуры подбирается своя модель, из которых в итоге формируется полная модель исследуемого объекта. Беспороговые модели особенно модель Де Вийса использовались ранее заменяя сферическую модель, когда можно было без компьтерных вычислений просто получить результат.

Рис.№ Пример двухструктурной сферической модели вариограммы.

Расчет надежной вариограммы получается только из данных подчиняющихся нормальному закону распределения, поэтому предварительно перед расчетом вариограмм из выборки нужно убрать все пробы с ураганными значениями и все пробы с минемальными значениями, в этом случае распределение компонента в выборке примет симметричный характер. Перед интерполяцией все убранные значения нужно вернуть в выборку.

Кригинг.Предпосылкой развития геостатистических методов послужило расхождение между содержаниями многих металлов в разведочных пробах и реально извлекаемых объемах руд. Точность оценивания зависит от нескольких факторов, количества проб и их значений, расположения проб по месторождению (здесь важна равномерность мест опробования), расстоянием между пробами и точкой в середине оцениваемого блока, наличие пространственной непрерывности рассматриваемой переменной (легче оценить величину регулярной переменной, чем той, которая меняется произвольно). Кригинг – метод интерполяции, который учитывает все эти факторы, был придуман южноафриканским горным инженером Дени Криге и потом усовершенствован Джорджем Матероном. В большинстве методов интерполяции, сначала задается диаметр поискового круга (или эллипса). Все точки, попавшие в поисковый круг, используются для расчета взвешенного среднего, которое будет приписано середине элементарного блока. Веса, с которыми будут учитываться исходные точки, в той или иной мере, зависят от расстояния от узла до этой точки. Разные методы интерполяции – это разные способы взвешивания исходных данных в зависимости от расстояния. В кригинге, как методе интерполяции, взвешивание производится, пожалуй, сложнее, чем во всех других методах. Допустим, что в наш поисковый круг попали несколько проб. Расстояния между пробами и расстояния между серединой оцениваемого блока или его краями используется для снятия вариограмных значений с модельной вариограммы. Затем вариограмные значения заносятся в матрицы системы линейных уравнений, и рассчитываются коэффициенты уравнений, которые и являются весами значений компонента в пробах. После рассчитывается оценка элементарного блока блоковой модели рудной залежи. При решении способом, выбранным Ж. Матероном, появляется небольшое по величине число μ – множитель Лагранжа. Чем множитель меньше, тем лучше решена система линейных уравнений.

Кригинговая оценка рассчитывается по формуле:

Здесь - кригинговая интерполяционная оценка изучаемой переменной, а - значения переменной в n точках, попавших в круг поиска, -веса. Обычно же, на практике, в поисковый круг попадает несколько десятков или сотен окружающих проб. Соответственно и матричное уравнение расширяется до сотен строк и столбцов.

Считается, что кригинг – это интерполяционная процедура, дающая оценки с наименьшей дисперсией. Дисперсия кригинга равна

где - порог; - коэффициенты (веса) кригинга; - ковариация между точкой оценивания и i-ой точкой; μ – множитель Лагранжа.

Чем меньше дисперсия кригинга по сравнению с общей дисперсией, тем лучше качество полученной оценки.

Точечный или ординарный кригинг рассчитывается для 8 точек, простой кригинг для одной точки.

В последнее время появились работы (Кумбс), в которых исследуется, как можно с помощью вариограммы оценить степень достоверности ресурсов. Выводы о связи размеров зоны влияния с степенью достоверности оценки компонента в элементарном блоке блочной модели напрямую связаны с тем, что вариограмма является обратной автокорреляционной функцией, поэтому оценка с помощью значений проб, находящихся на близком расстоянии наиболее достоверна в связи с тем что в данной зоне влияния значения проб имеют между собой высокую корреляцию. В работе Кумбс предложен следующий механизм оценки степени достоверности. Если значение в блоке интерполировано с помощью значений проб, расположенных в части зоны влияния, ограниченной 2/3 расстояния от 0 до порога (sill), то степень достоверности этого блока можно определить по категории оцененных ресурсов (measured). Если значение в блоке интерполировано с помощью проб, расположенных между первой частью зоны влияния и самой зоной влияния, то степень достоверности этого блока можно определить по категории выявленных ресурсов (indicated). И если значение в блоке интерполировано с помощью проб, находящихся за зоной влияния, то степень достоверности этого блока можно определить по категории предполагаемых (прогнозных) ресурсов (inferred). Использование вариограммы для оценки степени достоверности ресурсов в блоковых моделях приведено на рис.№ .

Рис.№ . Использование вариограмм в качестве указателя при классификации ресурсов/запасов.