ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

В начале изучения этого раздела необходимо хорошо усвоить, что понимается под напряженным состоянием в произвольной точке деформированного тела. Следует помнить, что напряжения, действующие в какой-либо площадке, проведенной через рассматриваемую точку, зависит от ориентации этой площадки.

Анализ напряженного состояния в точке деформированного тела осуществляется методом продольного перехода к бесконечно малым объемам. Для этого в окрестности исследуемой точки выделяют элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Учитывая малость размеров параллелепипеда, можно считать, что все его грани есть площадки, проходящие через данную точку и тогда напряжения на гранях параллелепипеда могут рассматриваться как напряжения, действующие в рассматриваемой точке.

Рисунок 19 - Основные виды напряженного состояния

Необходимо знать определение основных видов напряженного состояния: линейного (одноосного), плоского (двухосного) и объемного (трехосного), а также уметь изображать напряжения, действующие по граням выделяемых элементарных объемов при различных видах напряженного состояния (Рисунок 19).

Следует ясно представлять, какие площадки среди бесчисленного множества площадок, проходящих через исследуемую точку деформируемого тела, называются главными и какие напряжения действуют по ним. Обратите внимание на более простое изображение сложного напряженного состояния через главные напряжения s₁,s₂,s₃, (s₁>s₂>s₃).

Необходимо усвоить методику определения напряжения по различным площадкам при произвольном напряженном состоянии, в частности, рассмотреть линейное и плоское напряженное состояние.

При исследовании плоского напряженного состояния возникают задачи двух видов:

1 Для напряженного состояния, заданного главными напряжениями s₁, s₂, надо определить нормальное s₂ и касательные t_a напряжения по произвольно ориентированной площадке, заданной углом (Рисунок 19);

2 Для напряженного состояния, заданного в общем виде (Рисунок 19), нужно определить нормальные и касательные напряжения по произвольно ориентированной площадке, а также найти положение главных площадок и величину главных напряжений.

Следует иметь ввиду, что указанные задачи решаются как аналитически, так и графически с помощью кругов Мора. Необходимо знать обобщенный закон Гука для различных видов напряженного состояния и потенциальную энергию упругой деформации.

Прежде чем приступить к изучению различных теорий прочности, необходимо хорошо усвоить их значения. Надо ясно представлять, в каких условиях расчета на прочность приходится прибегать к гипотезам прочности. Далее необходимо изучить основные теории прочности и уметь записывать условие прочности по каждой теории для данного напряженного состояния.

СДВИГ И КРУЧЕНИЕ

В теории изгиба и кручения важную роль играют моменты инерции сечения. Необходимо вспомнить и повторить из теоретической механики правила нахождения центра тяжести сечения и статических моментов плоских фигур.

Необходимо уяснить вычисление моментов инерции для простейших плоских фигур (прямоугольника, треугольника, круга).

Рассматривая теорему о моменте инерции сечения относительно оси, параллельной центральной (I_y1=I_y+a²A), необходимо понять, что теорема справедлива только в том случае, если ось «у» проходит через центр тяжести фигуры.

Важно уяснить, что сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей.

Приступая к изучению раздела «Кручение», следует отметить, что данную деформацию испытывают такие детали машин, как валы, пружины, иногда болты при затяжке гайки ключом и др. Деформация кручения появляется при нагружении бруса парами сил, плоскости, действия которых перпендикулярны к его оси. Моменты этих пар называют вращающими моментами.

При вычислении вращающих моментов пользуются формулой:

,

где N – мощность в кВт,

угловая скорость;

n – число оборотов в минуту;

М – вращающий момент в н.м.

Необходимо уяснить те допущения, на которых основана элементарная теория кручения стержней круглого сечения: крайние сечения остаются плоскими, расстояния между поперечными сечениями не изменяются, радиусы, проведенные на торцевых сечениях, остаются прямолинейными и поворачиваются вместе с сечениями на некоторый угол.

Следует разобраться в построении эпюры крутящих моментов. Эпюра показывает изменение величины крутящего момента по длине вала. Необходимо уметь самостоятельно выполнять вывод формулы для напряжений при кручении стержня круглого сечения.

При кручении напряжение распределяется по поперечному сечению неравномерно (в линейной зависимости от расстояния точки до полюса сечения)

, (10)

где ρ – расстояние до точки сечения;

I_p – полярный момент инерции площади сечения;

М_кр – крутящий момент в поперечном сечении;

τ – касательное напряжение в точке, находящейся на расстоянии ρ от оси бруса.

Опасными считаются все точки контура сечения, геометрическими характеристиками прочности и жесткости сечения являются соответственно полярный момент сопротивления и полярный момент инерции, значения которых зависят не только от площади, но и от формы сечения. Рациональным (т.е. дающим экономию материала) является кольцевое сечение, имеющее по сравнению с круглым сплошным, меньшую площадь при равном моменте сопротивления (моменте инерции).

Необходимо уметь рассчитывать диаметр вала из условия прочности:

и условия жесткости:

, где

где W_p – полярный момент сопротивления площади сечения,

ℓ - длина вала,

G – модуль упругости при сдвиге,

І_р – полярный момент инерции площади сечения.

Для бруса из пластичного материала принимают [τ]=(0,55-0,6) [σ_р], для валов из конструкционных сталей обычно принимают [τ]=20 … 50 МПа.

Допускаемый угол закругления в машиностроении принимают:

[φ⁰]=0,25 … 1,00 град/м.

МЕТОД СИЛ

Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил».

Алгоритм расчета методом сил. Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:

1. Определить степень статической неопределимости;

2. Выбрать основную систему;

3. Сформировать эквивалентную систему;

4. Записать систему канонических уравнений;

5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции;

6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений;

7. Построить суммарную единичную эпюру;

8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов;

9. Решить систему канонических уравнений, т.е. определить реакции лишних связей;

10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры) ;

11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.

Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.