Имитационная модель опроса прохожих

Предположим, опрашивают прохожих на улице города. Требуется оценить время проведения опроса и затраты на него. Входных данных, в обычном понимании, в данной модели нет (возможность отсутствия входных данных – особенность имитационного моделирования).

Сначала требуется определить параметры модели. Пусть а – интервал между появлениями прохожих, которым можно задать вопрос; b – продолжительность беседы; с – желание прохожего беседовать.

Параметры данной модели являются случайными переменными. Случайной переменной назовем переменную, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Возможные значения случайной переменной образуют множество ее значений. В нашей модели а, b, с – случайные переменные. Следующий этап – получение информации для построения модели. Во многих случаях это можно сделать, проведя эксперимент. Предположим, что при сборе информации для каждой переменной изучены 100 прохожих и получены следующие данные.

Интервал между появлениями прохожих, которым можно задать вопрос, был от 0 до 5 минут. Так как строится дискретная модель, то необходимо непрерывный промежуток времени [0;5] сделать дискретным – решить, какие промежутки времени будут использоваться. Например, 1 минута. Это означает, что переменная а может принимать значения 0,1,2,3,4 и 5 мин. Это значения переменной а. Очевидно, что при сборе данных нет необходимости измерять время появления очередного прохожего с точностью, большей, чем 1 мин. Пусть 0 мин. прошло между появлениями 20 прохожих, 1 мин. – между 25 прохожих и т.д.

Таблица 23

В первом столбце приведены все значения переменной а; во втором – экспериментально полученное число прохожих, прошедших с интервалом а; в третьем – число прохожих, прошедших с интервалом не больше, чем а; в четвертом – вероятность появления прохожего в течение времени а. (Вероятность появления равна отношению числа благоприятных случаев к общему числу случаев). P(a)=d(a)/100. Пусть из 100 прохожих согласились побеседовать 50. Тогда вероятность того, что некоторый прохожий ответит на вопрос, равна 0,5.

Таблица 24

Предположим, что беседа с прохожими продолжалась от 2 до 8 мин. Следовательно, переменная b изменяется в интервале [2,8] . Будем использовать для b следующие значения: 2,4,6,8.

Таблица 25

Сбор информации закончен.

Для оценки полученной модели будем использовать математематическое ожидание и дисперсию.

М[a]=0*0.2+1*0.25+2*0.34+3*0.12+4*0.07+5*0.02=1.67

Мат. Ожидание переменной а равно1,67. Следовательно, среднее время между появлениями прохожих – 1,67 мин.

Математическое ожидание переменной b: М[b]=2*0.2+4*0.4+6*0.36+8*0.04=4.48

Следовательно, средняя продолжительность беседы с прохожим – 4,48 мин.

Дисперсия случайной переменной характеризует разброс случайной переменной вокруг математического ожидания. или более просто :

Найдем дисперсию случайных переменных а и b:

D[a]=02*0.2+12*0.25+22*0.34+32*0.12+42*0.07+52*0.02-1.672=1.5211

D[b]= 22*0.2+42*0.4+62*0.36+82*0.04-4.482=2.6496

Следующий этап – моделирование процесса опроса. Пусть имеется генератор случайных чисел, который позволяет получить псевдослучайные числа, равномерно распределенные в заданном диапазоне.

Предположим, имеются случайные числа в диапазоне от 0 до 99. Поставим в соответствие каждой переменной модели набор случайных чисел. Набор случайных чисел определяется вероятностями. Например, для переменной а – интервала между появлениями прохожих – вероятность р(0) = 0,2, т.е. 20% случайных чисел должны соответствовать а=0. Пусть это числа0,1,2 ….19. Аналогично определены остальные случайные числа.

Таблица 26

Получим 5 интервью. Пусть получены три последовательности случайных чисел:

56,90,90,87,95,52,11,46,80,1,49,2,65,79;

47,48,9,98,40,55,91,24,82,0,48,96,26,8;

51,87,78,33,65,94,2,79,60,70,68,80,72,86.

Первую используем для определения времени появления прохожих, вторую – для определения согласия прохожих беседовать, а третью – для определения продолжительности беседы.

Предположим, что следующая беседа может начаться сразу после окончания предыдущей. Первое случайное число 56, оно соответствует а=2, следовательно, первый прохожий появится через 2 мин. Второе случайное число 90 показывает, что второй прохожий появится через 3 мин., третий тоже через 3 мин. Случайное число 47 означает, что первый прохожий согласился побеседовать. Случайные числа 48 и 9 означают, что второй и третий прохожий также согласны беседовать. Случайное число 51 показывает, что беседа с первым прохожим продлится 4 мин., следовательно, беседа со вторым прохожим не состоится, т.к. в момент его появления происходит беседа с первым. Можно побеседовать только с третьим прохожим, случайное число 78 показывает, что беседа с ним продлится 6 мин.

Если считать, что процесс начался в начальный момент времени, то в четвертом столбце таблицы указано через, сколько минут после начала процесса появился очередной прохожий.

Чтобы полученные данные были достоверными, проведем 100 экспериментов (бесед).

Составим словесный алгоритм моделирования опроса:

1. Ввод числа бесед.

2. Увеличение счетчика числа прохожих num_peo на 1.

3. Получение случайного числа rnd1.

4. Если 0<=rnd1<=19, то время появления прохожего a=0 мин. ; если 20<=rnd1<=44, тоа=1мин. ; 45<= rnd1<=78, то а=2мин.; 79<= rnd1<=90,то 3мин.; 91<= rnd1<=97, то а=4мин.; 98<= rnd1<=99, то а=5мин.

5. Изменение счетчика абсолютного времени появления прохожего abs_a=abs_a+a.

6. Проверка: если опрашивающий свободен, т.е. абсолютное время появления прохожего больше абсолютного времени окончания беседы abs_a>=abs_b, то переход к шагу 7, в противном случае переход к шагу 12.

7. Получение случайного числа rnd. Если rnd <=49, то прохожий согласен беседовать с=да и увеличение счетчика числа бесед num_int на 1. В противном случае с=нет.

8. Если с=нет, то переход к шагу 12. В противном случае получение случайного числа rnd2 и переход к шагу 9.

9. Если 0<= rnd2<=59, то b=4мин.; если 60<= rnd2<=95,то b=6мин.; если 96<= rnd2<=99, то b=8.

10. Увеличение счетчика чистого времени бесед с прохожими tot_int на время последней беседы: tot_int=tot_int+b.

11. Увеличение счетчика абсолютного времени окончания беседы abs_b на время последней беседы: abs_b=abs_b+b.

12. Проверка, что проведено нужное количество бесед: если num_int<n, то переход к шагу 2, в противном случае переход к шагу 13.

13. Вывод результатов: число прошедших людей num_peo, число проведенных бесед num_int, чистое время бесед tot_int , время появления последнего прохожего abs_a, время окончания последней беседы abs_b.

Если выполнить процедуру моделирования по этой программе для числа бесед 100,200, 300, 500 и 1000 числа бесед, то получим следующий результат.

Таблица 27

Из таблицы видно, что для проведения 100 бесед требуется 638 мин. (11 часов), из них 432 (7 часов) затрачивается на сами беседы, а 206 мин. (3 часа 30 мин.) на ожидание очередного прохожего, согласного беседовать. За 11 часов проходит 404 прохожих.

В алгоритме присутствуют случайные переменные, поэтому если выполнить моделирование еще раз, то результат будет отличаться от предыдущего.

Следующий этап работы с полученной моделью – оценка ее надежности. Необходимо определить насколько модель соответствует реальному процессу. Определим числовые характеристики распределений случайных переменных и сравним их с имеющимися. Так, распределение времени между появлениями прохожих имеет мат.ожидание M[a]=1,67 и дисперсию D[a]=1,5211. Назовем их теоретическими характеристиками. Если характеристики модели близки к теоретическим, то модель надежна. Естественной оценкой для мат.ожидания M[a] является среднее арифметическое результатов экспериментов. M[a]= . Дисперсия равняется:

Найдем оценки для математического ожидания распределений случайных переменных a и b , использованных в построенной модели. Для этого в алгоритм добавим шаг, в котором вычислим среднее арифметическое всех значений переменных a и b. Для а – времени между появлениями прохожих – достаточно разделить абсолютное время появления последнего прохожего на количество прохожих., т.е. данные 2-го столбца разделить на данные 1-го столбца таблицы. Результат – оценка для мат.ожидания времени появления записан в таблицу. Аналогично оценка для мат. ожидания переменной b – продолжительности беседы- среднее арифметическое продолжительности проведенных бесед. Достаточно данные 4-го столбца разделить на данные 3-го столбца. Результат записан в 7-м столбце.

Сравним полученные оценки и теоретические характеристики. Найдем относительную погрешность переменных а и b :

;

Для 100 бесед: или 6,3%.

Для 200 бесед: = 2,5%, = 1,8%

Для 300 бесед: = 1,9%, = 1,9%

Для 500 бесед: = 0,1%, = 0,9%

Для 1000 бесед: = 0,1%, = 0,8%

Если достаточно, чтобы погрешность модели не превышала 6,5%, то приведенные эксперименты по построенной модели удовлетворительны.