Плоскость, содержащая все нормали, называется нормальной плоскостью.

Dr ( dx, dy,dz)

Тогда модуль dr будет равен:

| d | = = | ds |

Каков смысл этого корня? Что он показывает с точки зрения геометрии?

С точки зрения геометрии | ds |- этот радикал определяет элемент дуги равный по абсолютному значению ds . Или этот радикал определяет, что криволинейную дугу s мы заменили прямолинейной ds. Это значение приближенное с точностью до величин второго порядка.(высшего порядка малости)

Тогда модуль этого вектора

/ / = / / = 1

Вектор называется единичным вектором или ортом касательной к кривой АВ в точке М.

Направление

Покажем, что вектор всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты.

Сравним направления вектора d и

 

Изобразим два рисунка.

Первый рисунок.

Изображаем траекторию «а в», На этой траектории выберем точку О^' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.

Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Выберем близлежащую к ней точку М₁.Перемещение точкиМ к М_1, обозначим через d маленькая дуга ds Изобразим орт по касательной к траектории.

 

 

 

 

d - это вектор элементарного перемещения точки за бесконечно малый промежуток времени dt.

Он всегда направлен по касательной в сторону движения точки и абсолютно не важно в каком направлении точка движется.( в сторону увеличения или убывания дуговой координаты).

Записи будем делать под одной и другой картинкой

При движении в положительном направлении, когда дуговая координата s возрастает. ( ds > 0 )	При движении в отрицательном направлении, когда дуговая координата s убывает. ( ds < 0 )
↓↓ d или ↓↓ d	↓↑ d или ↓↑ d

Второй рисунок.

Изображаем траекторию «а в», На этой траектории выберем точку О^' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.

 

Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Выберем близлежащую к ней точку М₁,но изобразим ее в противоположном направлении. Перемещение точкиМ к М_1, обозначим через d маленькая дуга ds. Изобразим орт по касательной к траектории.В этом случаеds < 0.

Вывод

Вектор - всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты s.

Рассмотрим некоторую пространственную линию. На этой линии возьмем две близкие друг к другу точки М и М₁ и построим в этих точках орты касательных и .

По модулю они одинаковые, но у нас кривая линия, поэтому направлены они будут по разному.

Вектор перенесем параллельно самому себе в точкуМ .

Произведем следующее построение: через и проведем плоскость s₁

Вектор при этом будет менять свою ориентацию в пространстве.

Плоскость s₁ будет как-то поворачиваться вокруг вектора .Пока не займет некоторое предельное положение.

При М → М₁ вдоль АВ плоскость будет поворачиваться вокруг вектора пока не займет предельное положение плоскости s₁ .

Изобразим эту плоскость красным мелом.

Плоскость S называется соприкасающейся плоскостью в точке М к АВ.

Любой перпендикуляр к касательной называется нормалью.

Плоскость, содержащая все нормали, называется нормальной плоскостью.

Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью, нормаль лежащая в перпендикулярной плоскости называется – бинормалью.

Необходимо изобразить еще два единичных вектора: главную нормаль и бинормаль.

Вводим единичный вектор :

- орт главной нормали (всегда будем направлять его в сторону вогнутости траектории.)

- орт бинормали, его направление будем определять следующей формулой:

=

т.о , , - правая тройка векторов.

Так как мы привыкли пользоваться правой системой координат, то направим вектор бинормали так, чтобы данные вектора образовали правую тройку векторов.

Плоскость проходящая через орты и называется спрямляющей плоскостью к траектории АВ в точке М.

Совокупность плоскостей соприкасающейся, нормальной и спрямляющей представляют собой трехгранник с вершиной в точке М. Он называется естественным трехгранником.

Сделаем еще один рисунок.

Изобразим траекторию движения точки АВ. Выбираем точку М на траектории. Изобразим - орт касательной, - орт главной нормали, -орт бинормали.

Изображаем соприкасающеюся плоскость, проходящую через - орт касательной, - орт главной нормали.

Затем нормальную плоскость проходящую через - орт главной нормали, -орт бинормали.

Через орты - орт касательной и -орт бинормали проводим спрямляющую плоскость.

Оси совпадающие по направлению с ортами , , называются естественными осями координат, а их совокупность естественной системой координат.

Система меняет свою ориентацию в пространстве, поэтому он еще называется подвижным трехгранником.

2. Кривизна линии. (стр 38 –40)

Мы с вами уже знаем, что прямая – это линия нулевой кривизны, окружность – это линия постоянной кривизны.

Нам необходимо ввести величину, которая характеризовала бы искривленность произвольной линии в любой ее точке.

Введем угол между векторами и и обозначим (тетта).

- называется углом смежности, соответствующий дуге М М₁.

Этот угол характеризует поворот орта касательной при переходе от М к М₁ , вследствие искривления дуги на участке М М₁.

Обозначим приращение дуговой координаты s при переходе от точки М к М₁ через .

М М₁ =

Введем понятие средней кривизны:

К_ср = | |

Эта величина показывает, на сколько повернется орт касательной при единичной дуге и характеризует искривленность дуги ММ₁.

Если бы дуга была бы одинакова изогнута, то очевидно эта величина бы характеризовала одинаковую искривленность по всем точкам этого участка. Но у нас по всем точкам дуга искривлена по - разному.

Поэтому, чем меньше и чем ближе М₁ к М тем меньше искривление линии.

Нам необходимо определить искривленность в каждой точке.

Для того, чтобы узнать кривизну в точке М следует устремить точку М к М₁ .

Совершим предельный переход( →0 )

К = = | | (2)

Величина, равная пределу средней кривизны при →0 , называется кривизной линии в данной точке.

- данная величина не является дифференциалом, не будет производной. Обе величины бесконечно малые.

Вводим понятие радиуса кривизны:

ρ = ( 3 )