Краевая задача цилиндрических тонкостенных оболочек, работающих под внутренним давлением.

При расчете тонкостенных аппаратов, работающих под внутренним давлением их края рассматривают как свободные и для практики с достаточной степенью точности (проектировочного и проверочного расчета) можно толщину стенки рассчитывать по безмоментной теории.

В действительности же край оболочки нагружен равномерно распределенными краевыми силами и краевыми моментами.

V_с, V_ц – меридиональные усилия сферической крышки и цилиндра;

Q – распорное усилие крышки;

Q₀, M – неизвестные краевая сила и краевой момент.

Целью решения краевой задачи является вычисление неизвестных краевых нагрузок М и Q₀, напряжений, как следствие от этих нагрузок и проверка прочности по краю сопряжения.

Для вычисления краевых нагрузок составляется уравнение совместимости деформаций.

Идея которого следующая: в узле сопряжения не должно быть ни каких отличительных перемещений сопрягаемых деталей.

Правило знаков деформации:

Для линейных (или радиальных) Δ.

Δ – "+" – если от рассматриваемой нагрузки сечение стремиться сместиться от оси.

А угловые Q – "–" – если от рассматриваемой нагрузки сечение стремиться повернуться по часовой стрелки.

В том случае, если цилиндрический корпус жестко защемленный в недеформируемой детали, уравнения совместимости деформаций примут вид:

Если корпус цилиндрического соединения с недеформируемой деталью (например, прокладочное соединение), в этом случае краевой момент и угловые перемещения θ = 0.

После составления уравнений совместности деформаций формулы для вычисления перемещений, как линейных максимальных и угловых (Δ, θ), выбираются по справочнику в зависимости от вида аппарата и сопряжения (Михалев, таб. 1.26, стр. 58 – 61).

После вычисления деформаций для проведения проектировочного расчета необходимо вычислить напряжения в поперечном сечении от действия краевой силы и момента. Возникают кольцевое и меридиональное напряжения.

,

где , – меридиональное и кольцевое напряжение;

р – от внутреннего давления;

М₀ – краевой момент;

Q₀ – Q – краевое распорное усилие.

Выбирается максимальное значение, для которого и составляется условие прочности.

,

где φ – коэффициент прочности сварного соединения;

[σ]_кр – допускаемое напряжение по краю оболочки.

Допускаемое напряжение по краю оболочки для хрупких материалов приравнивается к допускаемому напряжению расчетной оболочки при данной температуре (чугуны).

для пластичных материалов можно увеличить в 1,3 (стали).

Напряжения, возникающие по краю, действуют в небольшой зоне и быстро затухают по мере удаления от края.

Кривая затухания напряжения носит волнообразный знакопеременный характер и определяется уравнением: ,

где А – учитывает нагрузку;

k – характер скорости затухания;

х – определяется расстоянием от края до рассматриваемого сечения.

Для цилиндров краевые силы и краевые моменты оказываются существенными только в пределах зоны протяженностью:

,

где R – внутренний радиус оболочки;

δ – исполнительная толщина стенки.

Если длина цилиндра меньше указанной зоны , то краевые нагрузки, возникающие на одном крае цилиндра оказывают влияние на деформацию на другом крае. Поэтому для проведения точного расчета учитывать напряжение по краю необходимо.

Для длинных цилиндров, у которых учет краевого эффекта необязателен.

Замечание:

1.Величина краевых нагрузок зависит от узла сопряжения и свойств материала.

2.В жестких соединениях возникают большие краевые напряжения.

3.Пластичные материалы более податливы к деформациям, поэтому краевой эффект проявляется в меньшей степени.

4.При расчете стальных оболочек с плавным переходом можно пользоваться безмоментной теорией расчета.

5. Увеличение толщины стенки должно иметь характер усиления зоны действия краевых напряжений.

Лекция №7.