Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.

Пусть дано комплексное число . Тогда . (1.3)

Отсюда видно, что при разных значениях мы получаем разные комплексные числа, которые будут отличаться только своими аргументами. При этом количество таких комплексных чисел равно и они получаются при . При отрицательных значениях новые комплексные числа не получаются.

Если комплексные числа изобразить на комплексной плоскости, то они будут расположены в вершинах правильного n-угольника, радиус описанной окружности которого равен (рис. 1.12).

Рис. 1.12

Пример 1.3. Решить уравнение .

Решение.Согласно (1.3) имеем

, .

Отсюда c учетом формулы Эйлера , имеем

, ,

.

На рис. 1.13. приведено расположение решений исходного уравнения на комплексной плоскости.

Рис. 1.13

Ответ: ; ; ;

Пример 1.4.Найти

Решение.Согласно (1.3) имеем Отсюда с учетом формулы Эйлера, получим

Ответ:

Задачи с ответами.

1.3.1. Найти , если

Ответ:

1.3.2. Найти , если

Ответ:

1.3.3. Упростить выражение .

Ответ:

1.3.4. Найти комплексные числа , которые удовлетворяют условиям

.

Ответ:

1.3.5. Вычислить

Ответ:

1.3.6. Вычислить

Ответ:

1.3.7. Вычислить

Ответ:

1.3.8. Решить уравнение

Ответ:

1.3.9. Решить уравнение

Ответ:

1.3.10. Решить уравнение

Ответ: