Применение коэффициентов векторного сложения

Особый интерес представляет сравнение полных сечений ядерных процессов, когда может быть применен принцип изотопической инвариантности. Полное сечение реакции характеризует вероятность этого процесса. В этом случае отношение полных сечений процессов определяется отношением соответствующих коэффициентов КГ по изотопическому спину, поскольку остальные квантовые числа взаимодействующих частиц одинаковые. В литературе подобные отношения называют правилом Шмушкевича. В качестве примера рассмотрим отношение сечений процессов рассеяния пионов нуклонами

(2.7.1)

и

(2.7.2)

в области энергий 33-резонанса. При этом рассеяние происходит главным образом через промежуточное состояние - системы с полным изотопическим спином (нерезонансное взаимодействие в состоянии с пренебрежимо мало). Первые резонансы были открыты Ферми при рассеянии -мезонов на нуклонах: где - резонанс имеет следующие квантовые числа спина, четности и изоспина . В литературе он называется 33-резонансом.

Найдем массу - резонанса.

(2.7.3)

Принимая во внимание, что

, получим

где (2.7.4)

Таким образом, масса 33-резонанса равна 1236 МэВ.

Найдем при одинаковых относительных энергиях, углах разлета и ориентациях спинов соотношения между дифференциальными сечениями этих трех реакций:

(I) (2.7.1)

(II) (2.7.2)

(III)

Реакции (II) и (III) представляют два канала единой (в отношении изоспина) реакции , отличающиеся различными зарядовыми состояниями пион-нуклонной системы в конечном состоянии, изоспин которой равен . Сравним с . По условию отбора сечений рассматриваемые реакции совершенно одинаковы в смысле координатных и спиновых степеней свободы, и в силу изотопической инвариантности (с учетом доминирующей роли состояний с в - взаимодействии) отношение сечений равно отношению «весов» необходимого изотопического состояния с в начальных состояниях и пион-нуклонной системы. Указанные веса определяются соответствующими коэффициентами КГ по изоспину.

Рисунок 1 – Возбужденные состояния нуклонов, наблюдаемые при упругом рассеянии пионов на протоне.

Коэффициенты КГ по изотопическому спину отличны друг от друга, в отличие от других моментов, следовательно, имеет место правило Шмушкевича:

(2.7.5).

Для реакции в области 33-резонанса коэффициент КГ

(2.7.6).

Для реакции в области 33-резонанса коэффициент КГ

. (2.7.7).

Следовательно,

(2.7.8),

что довольно неплохо совпадает с приведенными на экспериментальном графике данными. При энергии резонанса 190 МэВ имеем

(2.7.8').

Таким образом, физическая сторона теории коэффициентов КГ весьма существенна.

Найдем теперь отношение . Оно равно отношению «весов» зарядовых состояний и пион-нуклонной системы в состоянии с (и ), которые определяются коэффициентами КГ.

Для реакции в области 33-резонанса коэффициент КГ

(2.7.9).

Для реакции в области 33-резонанса коэффициент КГ

(2.7.10),

(2.7.11).

Из (2.7.8) и (2.7.11) следует

Приписывание ∆ (1236) резонансу спина может быть подтверждено угловыми корреляциями упругого рассеяния в области этого резонанса. Угловые корреляции пиона в упругом рассеянии могут быть найдены с помощью формулы

(2.7.12),

где

(2.7.13)

В этом случае

Сферические функции:

(2.7.14)

В расчетах мы учитываем

(2.7.15)

Следовательно, получим

(2.7.16)

2)Рассмотрим

В этом случае

Следовательно, получим

(2.7.17)

3)Рассмотрим

В этом случае

Следовательно, получим

= const (2.7.18)

Рисунок 2 – Угловые корреляции рассеянного пиона в упругом

рассеянии : 1 - ,

2 - ,

3 - = const.

- точки эксперимента

Мы видим, что состояние с и имеет большую вероятность, чем .

Можно привести и ряд других подобных примеров ядерных реакций. Рассмотрим реакции, которые запрещены с точки зрения закона сохранения изотопического спина. Реакция запрещена в силу закона сохранения изоспина, поскольку , , следовательно, , а . Эксперимент подтверждает запрещенность этой реакции в том смысле, что данная реакция наблюдается лишь с очень малым эффективным сечением, которое можно приписать только электромагнитному взаимодействию, так как на него закон сохранения изоспина не распространяется.

Изотопическая инвариантность предполагает, что различные частицы, относящиеся к одному и тому же изотопическому мультиплету, следует рассматривать как тождественные частицы, находящиеся в различных состояниях, отличающихся значением Т₃-компоненты изоспина (и соответственно заряда). При этом квантовомеханический принцип неразличимости тождественных частиц, требующий определенной симметрии ВФ по отношению к перестановке переменных любых двух таких частиц, должен быть распространен и на различные частицы одного и того же изомультиплета. Если рассматривать двухпионную систему, то перестановка координат пионов эквивалентна их отражению относительно центра масс и, следовательно, симметрия координатной ВФ состояния с данным значением момента относительного движения (он же - полный момент ) совпадает с ее четностью . ВФ двух пионов – тождественных бозонов - должна быть симметрична по отношению к перестановке их переменных: координат и изотопических переменных. Следовательно, в состоянии с данным изоспиновая часть волновой функции пионов должна быть симметричной для четных значений и антисимметричной для нечетных . Учитывая значение изоспина пиона и формальную аналогию свойств момента и изоспина, заключаем, что изоспиновая часть системы из двух пионов по отношению к их перестановке симметрична при суммарном изоспине и антисимметрична при . Соответственно в состояниях с четным возможны лишь значения , при нечетных - лишь .

Найдем вероятность различных значений суммарного изотопического спина пион-нуклонной системы и среднее значение в следующих изотопических состояниях:

В рассматриваемых состояниях -системы -компоненты изоспина нуклона и пиона имеют определенные значения.

(напомним: ).

Пусть пион и нуклон являются слабовзаимодействующими системами с квантовыми числами и изоспина и его третьей компоненты. Возможные значения изоспина совокупной системы удовлетворяют условиям

Оператор полного изоспина

(2.7.19).

Следовательно

(2.7.20),

а среднее значение

(2.7.21)

С другой стороны, для -системы возможны лишь два значения суммарного изоспина: и , так что, обозначив вероятность значения в рассматриваемых состояниях (при этом ) имеем

( 2.7.22)

Подставляя в (2.7.21) различные значения для третьей компоненты изоспина нуклона и пиона ( ), находим среднее значение квадрата изоспина. Используя (2.7.22), получим:

а) для и систем:

б) для и систем:

в) для и систем:

Таким образом, мы видим, что для систем и существует только одно состояние с изоспином . Для систем и вес больше, чем . Для и - наоборот, вероятность состояния с больше, чем с .

При этом суммарная вероятность состояний во всех трех случаях равна 1.

Рассмотрим нейтральную частицу с изотопическим спином , которая имеет вероятность распада на два пиона: . Возможные каналы распада: . Найдем соотношение между вероятностями распада частицы по указанным каналам.

( ).

ВФ состояний представляется в виде

(2.7.23)

Возможные значения третьей компоненты полного изоспина , так как .

Коэффициенты КГ

,

и

Следовательно,

(2.7.24)

здесь - изоспиновая ВФ состояния двух пионов с , - изоспиновые волновые функции пионов с определенным значением компоненты .

Вероятность распада в различные зарядовые состояния двухпионной системы ( ) пропорциональны вероятностям нахождения пионов в таких состояниях при (в силу сохранения изоспина в распаде). Вероятность зарядового состояния определяется квадратом коэффициента КГ, то есть вероятность состояния из двух равна . Соответственно

.

Следовательно,

(2.7.25)

Рассмотрим другой способ нахождения вероятности распада. Представим распад некоторого числа частиц . В результате их распада образуются -мезонов, столько же и - мезонов (в распаде образуются сразу два ). Исходная система из является, очевидно, изотопически симметричной (так как ). Также изотопически симметричным должно быть конечное состояние, включающее распадные пионы. Отражением этой симметрии должно быть одинаковое число пионов в различных зарядовых состояниях , что немедленно приводит к установленному выше соотношению (2.7.25). Приведенное рассмотрение представляется очень наглядным с физической точки зрения.

Рассмотрим две реакции и и найдем отношение дифференциальных сечений этих реакций, взятые при одних и тех же относительных энергиях, углах разлета и взаимных ориентациях спинов. Поскольку , то конечные состояния обеих реакций являются различными изоспиновыми состояниями одной и той же физической системы (пион+дейтрон) с изоспином , отличающимися лишь значением -компоненты изоспина. В силу сохранения изоспина рассматриваемые реакции происходят лишь в состояниях начальной нуклон-нуклонной системы с изоспином . При этом в реакции оба нуклона находятся как раз в требуемом изотопическом состоянии с (и ), в то время как в реакции требуемое состояние двух нуклонов с (и ) представлено, очевидно, с вероятностью (с такой же вероятностью представлено состояние с ). По условию отбора сечений обе реакции совершенно одинаковы в смысле координатных и спиновых степеней свободы, так что в силу изотопической инвариантности отношение их сечений равно отношению вероятностей необходимого изотопического состояния с в начальных состояниях, то есть двум:

Покажем теперь, что

Так как , то в смысле изоспина дейтрон в рассматриваемых реакциях играет роль «катализатора» в процессе «диссоциации» протона на нуклон и пион:

В начальной стадии процесса , и в силу сохранения изоспина такие же значения и имеет пион-нуклонная система в конечном состоянии. По условию отбора сечений обе реакции совершенно одинаковы в смысле координатных и спиновых степеней свободы, так что в силу изотопической инвариантности отношение их сечений равно отношению «весов» зарядовых состояний и пион-нуклонной системы в состоянии с . Последнее отношение равно 2, что и доказывает наше утверждение.

Рекомендуемая литература:

1. Давыдов А.С. , Квантовая механика, «Наука», физ. мат. лит., Москва, 1973, 703с.
2. Балашов В.В., Теоретический практикум по ядерной и атомной физике, Москва, Энергоатомиздат, 1984, 173 с.
3. Бете Г., Квантовая механика, «Мир», Москва, 1965, 333 с.
4. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И., Задачи по квантовой механике, «Наука», физ. мат. лит., Москва, 1981, 647 с.
5. Перкинс Д., Введение в физику высоких энергий, Энергоатомиздат, Москва, 1991, 430 с.
6. Балдин А.М., Гольданский В.И., Розенталь И.Л., Кинематика ядерных реакций, физ. мат. лит., Москва, 1959, 296 с.
7. Смородинский Я.А., Шелепин Л.А., Успехи физических наук, том 106, выпуск 1, январь, 1972.
8. Жусупов М.А., Чумбалова Р.А., Введение в теорию атомного ядра, часть 1, Алма-Ата, КазГУ, 1978, 131 с.
9. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К., Квантовая теория углового момента, Ленинград, Наука, 1975, 441 с.