Механика сплошных сред. Деформации твердого тела. Закон Гука

Говоря о механике твердого тела, мы считали его абсолютно твердым. В природе, однако, абсолютно твердых тел не существует, все реальные тела под действием внешних сил деформируются, т. е. изменяют свою форму. Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает свои первоначальные размеры. Деформации, которые сохраняются в теле и после снятия внешних сил, называются пластическими(остаточными). Конечно, деформации реальных тел всегда пластические, но если их величина мала, мы будем считать их упругими. Тела под действием внешних сил могут растягиваться, сжиматься, изгибаться, скручиваться, у них могут сдвигаться одни слои относительно других, но при всех названных видах деформаций их можно свести к двум основным: растяжению (сжатию) и сдвигу.

Рассмотрим однородный стержень длиной l и площадью поперечного сечения, равной S, к концам которого приложены противоположно направленные силы F₁ и F₂, по величине равные F. За счет действия этих сил длина стержня увеличится на величину ∆l, положительную при растяжении и отрицательную при сжатии.

Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называется напряжением

σ = F/S. (1.5.1)

Относительное изменение длины стержня (продольная деформация)

ε = ∆l/l, (1.5.2)

а относительное поперечное растяжение (сжатие)

ε’ = ∆d/d, (1.5.3)

где d – диаметр стержня.

Поскольку при растяжении (сжатии) стержня диаметр стержня уменьшается (увеличивается), знаки у ε и ε’ противоположны. Эти две величины связаны друг с другом следующим соотношением:

ε’ = - με, (1.5.4)

где μ – коэффициент Пуассона, зависящий от свойств материала положительный коэффициент.

Английский физик Р. Гук экспериментально установил, что в случае малых деформаций относительное удлинение ε и напряжение σ прямо пропорциональны друг другу:

σ = Eε, (1.5.5)

где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга. Из 1.5.5 следует, что модуль Юнга – это напряжение, которое вызывает относительное удлинение стержня, равное единице.

Из выражений 1.5.1, 1.5.2 и 1.5.5 получаем, что

ε = ∆l/l = σ/E = F/ES (1.5.6)

или

F = (ES/l)∆l = k∆l, (1.5.7)

где k – коэффициент упругости.

Следует помнить, что зависимость σ(ε) является линейной только в определенном диапазоне изменения напряжений. То напряжение, при котором она перестает быть линейной, называется пределом пропорциональности.При дальнейшем увеличении напряжения деформация еще остается упругой, хотя угол наклона зависимости σ(ε) уже иной, и до предела упругости остаточных деформаций в стержне не наблюдается. Они возникают уже за пределом упругости, и, если снять напряжение, стержень уже не вернется к своей начальной длине. Напряжения, при которых появляется заметная остаточная деформация (0.2 %), называется пределом текучести. Дело в том, что при пределе текучести тело удлиняется даже при неизменном напряжении, тело как бы «течет». Материалы, для которых область текучести(диапазон напряжений, при которых наблюдается текучесть материала) значительна, называются вязкими, а для которых она отсутствует, – хрупкими. Если и дальше увеличивать напряжение, тело разрушается. Максимальное напряжение, которое возникает в теле до его разрушения, называется пределом прочности.

Кроме твердых тел, к сплошным средам принято относить также жидкости и даже газы. Известно, что во многих задачах сжимаемостью жидкостей и газов можно пренебречь, т. е. считать их несжимаемыми, т. е. такими, плотность которых всюду одинакова и со временем не изменяется. В равновесном состоянии жидкости и газы подчиняются закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жидкости (газа) одинаково по всем направлениям и одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью (газом).

Возникает вопрос о том, как влияет вес жидкости на распределение давления в объеме покоящейся несжимаемой жидкости. При поперечном сечении S столба жидкости c плотностью ρ и высотой h ее вес P = ρgSh, а давление на нижнее основание столба жидкости

p = P/S = ρgSh/S = ρgh, (1.5.8)

где ρgh – гидростатическое давление.

Поскольку давление зависит от высоты столба жидкости (см. 1.5.8), то сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, со стороны этой жидкости действует направленная вверх выталкивающая сила, которая в соответствии с законом Архимеда равна весу вытесненной телом жидкости:

F_A = ρgV, (1.5.9)

где V – объем вытесненной жидкости, а ρ – ее плотность.

Жидкость, однако, не всегда остается покоящейся. Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости – потоком. Для наглядности графически движение жидкости изображают с помощью линий тока, которые проводят так, чтобы касательные к ним совпадали по направлению с вектором скорости течения жидкости в соответствующих точках пространства, а их густота (отношение числа линий к площади перпендикулярной площадки, через которую они проходят) была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Часть жидкости, которая ограничена линиями тока, называется трубкой тока. Течение жидкости будет стационарным (установившимся), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой точке со временем не изменяются.

Рассмотрим некоторую трубку тока. Пусть S₁ и S₂ являются ее двумя сечениями, перпендикулярными направлению течения жидкости (рис. 1.5.1).

V₁ V₂

Рис. 1.5.1.

За время ∆t через сечение S проходит объем жидкости SV∆t, значит, через сечение S₁ за 1 секунду пройдет объем жидкости S₁V₁, а через сечение S₂ – S₂V₂. Поскольку жидкость несжимаема, т. е. ее плотность постоянна, то через сечение S₂ пройдет такой же объем жидкости, что и через сечение S₁, т. е.

S₁V₁ = S₂V₂ = const. (1.5.10)

Соотношение 1.5.10 называют уравнением неразрывности струи для несжимаемой жидкости.

Представим себе, что трубка тока наклонена, т. е. сечения S₁ и S₂ находятся на разной высоте h₁ и h₂, причем h₁ > h₂. Скорости течения жидкости и давления в местах сечений S₁ и S₂ равны V₁ и p₁ и V₂ и p₂, соответственно. За малый промежуток времени ∆t жидкость перемещается от указанных сечений к новым сечениям S₁’ и S₂’, удаленным от S₁ и S₂ на расстояния l₁ и l₂. Если Е₁ и Е₂ – полные энергии жидкости массой ∆m в местах начальных сечений S₁ и S₂, то изменение полной энергии несжимаемой жидкости должно быть равно работе по перемещению этой массы жидкости:

Е₂ – Е₁ = А. (1.5.11)

С другой стороны, А – это работа, равная произведению сил F₁ = p₁S₁ и F₂ = p₂S₂ на расстояния l₁ = V₁∆t и l₂ = V₂∆t, соответственно.Здесь надо только иметь в виду, что давление р₂ имеет противоположный знак, поскольку жидкость, находящаяся после сечения S₂, препятствует течению жидкости, притекающей к нему. Иными словами

A = p₁S₁l₁ – p₂S₂l₂ = p₁S₁V₁∆t – p₂S₂V₂∆t. (1.5.12)

Поскольку полная энергия жидкости складывается из кинетической и потенциальной энергий, то 1.5.11 может быть переписано в следующем виде:

∆mV₂²/2 + ∆mgh₂ – ∆mV₁²/2 – ∆mgh₁ =

= p₁S₁V₁∆t – p₂S₂V₂∆t. (1.5.13)

По закону о неразрывности струи, объем ∆v жидкости, протекаемой через разные сечения трубы, может быть записан так:

∆v = S₁V₁∆t = S₂V₂∆t. (1.5.14)

Тогда, если поделить 5.13 на ∆v, то с учетом того, что ∆m/∆v = ρ (плотности жидкости), получим

ρV₂²/2 +ρgh₂ – ρV₁²/2 – ρgh₁ = р₁ – р₂. (1.5.15)

После перегруппировки членов уравнение 1.5.15 может быть записано в следующем виде:

ρV₁²/2 + ρgh₁ + р₁ = ρV₂²/2 + ρgh₂ + р₂. (1.5.16)

Поскольку сечения S₁ и S₂ выбирались произвольно, можно записать

ρV²/2 + ρgh + р = const. (1.5.17) Выражение 1.5.17 – это уравнение Бернулли.

Если трубка тока горизонтальна, 1.то 5.17 превращается в

ρV²/2 + р = const. (1.5.18)

Полное давление в 1.5.17 складывается из статического давления р, динамического давления ρV²/2 и гидростатического давления ρgh.

При течении жидкости выявляется их вязкость – свойство оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой из-за возникающих между слоями текущей жидкости сил трения, которые направлены по касательной к поверхности слоев. Слой, движущийся с большей скоростью, ускоряет слои жидкости, текущие с меньшей скоростью и наоборот: слой, текущий с меньшей скоростью, тормозит движение слоя с большей скоростью.

Понятно, что сила внутреннего трения F пропорциональна площади поверхности слоя S и зависит от того, как сильно меняется скорость течения жидкости при переходе от одного слоя к другому, величина ∆V/∆x называется градиентом скорости. С учетом сказанного модуль силы внутреннего трения

F = η‌‌‌|∆V/∆x|S, (1.5.19)

где коэффициент пропорциональности η называется коэффициентом внутреннего тренияилидинамической вязкостью или просто вязкостью. Измеряется вязкость в паскаль-секундах: 1 Па*с равен вязкости среды, в которой при ламинарном течении и градиенте скорости с модулем, равным 1 м/с на 1 м, возникает сила внутреннего трения в 1 Н на 1м² поверхности касания слоев, т. е. 1 Па*с = 1 Н*с/м². Вязкость зависит от природы жидкости и от температуры: чем температура выше, тем меньше вязкость.

Выделяют 2 режима течения жидкостей. Течение будет называться ламинарным, если вдоль потока каждый тонкий выделенный слой скользит относительно соседних слоев, не перемешиваясь с ними. Если же вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание слоев, поток называют турбулентным (вихревым).

А какие существуют методы определения вязкости? Рассмотрим их.

1. Метод Стокса. Он основан на измерении скорости падения шарика радиуса r с плотностью ρ в жидкости плотностью ρ^’. На него действуют 3 силы: сила тяжести P = 4πr³ρg/3, сила Архимеда F_A = 4πr³ρ^’g/3 и сила сопротивления, эмпирически установленная английским физиком и математиком Дж. Стоксом, F = 6πηrV, где V – скорость падения шарика.‌‌‌ При равномерном падении шарика в жидкости P = F_A + F, что приводит к следующему соотношению:

4πr³ρg/3 = 4πr³ρ^’g/3 + 6πηrV, (1.5.20)

откуда для скорости падения получаем

V = 2(ρ - ρ^’)gr²/9η. (1.5.21)

Из 1.5.21 следует, что, если измерить скорость равномерного падения шарика в жидкости, можно определить ее вязкость.

Метод Ж. Пуазейля (французского физика и физиолога). Использует ламинарное течение жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиуса R и длиной l. Мысленно выделим в жидкости, текущей по капилляру, цилиндрический слой жидкости радиуса r и толщиной dr. Сила внутреннего трения, которая действует на внешнюю поверхность этого слоя,

F = – ηdSdV/dr = – η2πrldV/dr, (1.5.22)

где dS – боковая поверхность цилиндра (знак минус означает, что с увеличением радиуса скорость уменьшается).

Если течение жидкости уже установилось, то названная сила внутреннего трения, которая действует на боковую поверхность цилиндра, уравновешивается силой давления на основание цилиндра:

– η2πrldV/dr = ∆pπr², (1.5.23)

откуда получаем

dV = – ∆prdr/2ηl. (1.5.24)

После интегрирования в предположении, что из-за прилипания жидкости к стенкам скорость на расстоянии R от оси равна нулю, получаем

V = ∆p(R² – r²)/4ηl. (1.5.25)

Зная объем жидкости v, которая вытечет из трубы за время t, можно определить ее вязкость

η = πR⁴∆pt/8vl. (1.5.26)

Одной из важнейших задам гидро- и аэродинамики является изучение сил, действующих на тело, движущееся в жидкости или газе. На тело, движущееся в них, действуют 2 силы: сила лобового сопротивления R_x, противодействующая движению тела, и подъемная сила R_y, перпендикулярная направлению движения. Если тело симметрично, никакой подъемной силы не возникает, поэтому на тело действует только сила лобового сопротивления, если тело движется в вязкой жидкости.

Лобовое сопротивление зависит от формы тела и его положения относительно потока, что учитывается установленным эмпирически безразмерным коэффициентом сопротивления С_х, который входит в выражение для силы лобового сопротивления

R_x = C_xSρV²/2, (1.5.27)

где ρ – плотность среды, V – скорость движения тела, S – наибольшее поперечное сечение тела. Лобовое сопротивление уменьшают подбором формы тела, например, крыла самолета, таким образом, чтобы за ним не образовывалось завихрений.

Подъемная сила определяется подобным выражением

R_y = C_ySρV²/2, (1.5.28)

где C_y – безразмерный коэффициент подъемной силы. В случае самолета для крыла требуется большая подъемная сила при малом лобовом сопротивлении (это выполняется при малых углах атаки – углах между крылом и потоком). Крыло тем лучше удовлетворяет этому условию, чем больше качество крыла K = C_y/C_x. Когда самолет летит прямолинейно и равномерно, сема сил, действующих на него, равна нулю. При этом сила тяги винта (реактивного двигателя) уравновешивается лобовым сопротивлением, а вес самолета – подъемной силой.

Подъемная сила возникает и при эффекте Магнуса. Если, например, на вращающийся цилиндр набегает поток воздуха, то цилиндр при своем вращении будет увлекать прилегающие слои воздуха, поэтому воздух потока приобретает еще и составляющую от вращения. Поэтому в тех местах, где составляющие скорости складываются (например сверху цилиндра, вращающегося по часовой стрелке при набегании потока слева), результирующая скорость будет больше скорости потока, а на противоположной стороне (снизу) составляющая вращения будет вычитаться из скорости потока, и результирующая скорость воздуха будет меньше скорости потока вдали от цилиндра. Однако из закона Бернулли следует, что там, где скорость газа больше, давление меньше и наоборот: где скорость меньше, там давление больше. Это означает, что с двух сторон на цилиндр действуют неравные силы, их результирующая, направленная перпендикулярно к потоку, как раз и будет подъемной силой. Эффект Магнуса следует учитывать при стрельбе из пушек. Было замечено, что при обтекании вращающегося артиллерийского снаряда возникающая подъемная сила приводила к отклонению снаряда от расчетной траектории и, следовательно, к промахам. Эффект Магнуса можно наблюдать и при полете закрученных футбольного или теннисного мячей: они отклоняются в сторону.

Контрольные вопросы

1. Что понимают под деформацией твердого тела?

2. Какие тела называются вязкими и какие – хрупкими?

3. Как формулируется закон Гука?

4. Как записывается уравнение неразрывности и в чем его суть?

5. Как выглядит уравнение Бернулли?

6. Каков физический смысл у вязкости жидкости?

7. В чем суть метода Стокса определения вязкости жидкости?

8. Как определить вязкость методом Пуазейля?

9. Что такое эффект Магнуса и где его можно наблюдать?

10. Как возникает аэродинамическая сила крыла?