Устойчивость сжатых стержней

Если прямой стержень сжимать центрально прило­женной силой Р, то вначале стержень будет оставаться прямым, и это состояние равновесия его будет устойчивым. Устойчивое состояние равновесия упругого стержня характеризуется тем, что при незначительном отклонении под влиянием какого-либо воздействия (малое возмущение) он возвращается в первоначальное состояние после прекращения этого воздействия, совершив незначитель­ные затухающие колебания. Объяснить это можно так: внешняя сжимающая сила не может преодолеть сопроти­вление стержня тому незначительному изгибу, которому он подвергался при отклонении оси, а внутренняя упру­гая работа деформации изгиба стержня, полученная вследствие отклонения оси (потенциальная энергия из­гиба ∆Е), больше внешней работы (∆А), которую совер­шила сжимающая сила в результате сближения концов стержня при его изгибе: ∆Е > ∆А (рис. 7.7 а). При дальнейшем увеличении сжимающая сила может достиг­нуть такого значения, что ее работа будет равна работе деформации изгиба, вызванного любым достаточно ма­лым возмущающим фактором. В этом случае ∆Е = ∆А, и сжимающая сила достигает своего критического значения Р_кр. Таким образом, прямой стержень при нагрузке его до критического состояния имеет прямолинейную форму устойчивого состояния равновесия.

При достижении си­лой критического значения его прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой, стержень может изогнуться в плоскости наименьшей жесткости, и устой­чивой формой равновесия у него уже будет криволиней­ная форма.

Если стержень имеет небольшую первоначальную кривизну (или незначительную внецентренность сжима­ющей силы), то при возрастании нагрузки он сразу же отклоняется от прямой. Это отклонение вначале мало, и только тогда, когда сжимающая сила приближается к критической (отличаясь от нее в пределах 1%), отклоне­ния становятся значительными, что и означает переход в неустойчивое состояние.

Рис. 7.7. Продольный изгиб центрально-сжатых стержней:

а - стержень с шарнирными соединениями; б - кривые критических напря­жений и коэффициента продольного изгиба стали Ст3; 1- кривая Эйлера; 2 - кривая критических напряжений с учетом пластической работы материа­ла; 3 - кривая коэффициента φ

Таким образом, неустойчивое состояние равновесия характеризуется тем, что уже при малом увеличении сил происходят большие перемещения. Дальнейшее незначительное увеличение сжимающей си­лы Р>Р_кр вызывает всевозрастающие отклонения, и стержень теряет свою несущую способность. При этом различным видам закреплений стержня соответствуют различные значения критической силы. Для показанного на рис. 7.7 а центрально-сжатого стержня, имеющего по концам шарнирные закрепления (основной случай), критическая сила определена Л. Эйлером в виде

(7.1)

Напряжение, которое возникает в стержне от крити­ческой силы, называется критическим напряжением формула:

(7.2)

где - минимальный радиус инерции;

F_бр – площадь брутто поперечного сечения стержня;

λ = l/r_min – гибкость стержня, равная отношению длины стержня к радиусу инерции его сечения.

Из формулы (7.2) видно, что критическое напряже­ние зависит от гибкости стержня (так как числитель л²Е - величина постоянная), а гибкость - величина, за­висящая лишь от геометрических размеров стержня. Следовательно, можно повысить критическое напряже­ние, изменяя гибкость стержня главным образом за счет увеличения радиуса инерции сечения. Эта возможность должна быть использована при конструировании. Таким образом, критическое напряжение можно также рассмат­ривать как параметр, характеризующий выгодность по­добранного сечения элемента, предназначенного для ра­боты на сжатие. Графически формула Эйлера (7.2) изображается в виде гиперболы (рис. 7.7 б, кривая 1). Критические напряжения, определенные по формуле Эйлера, справед­ливы лишь при постоянном модуле упругости Е, т. е. в пределах пропорциональности, а именно для стержней большой гибкости (λ>105), что следует из уравнения (7.2) при σ_кр = σ_пц для стали Ст3 σ_пц =20 кН/см2, то λ = 105 (рис. 7.7).

Критические напряжения для стержней малой (λ < 30) и средней (30< λ <100) гибкости получаются больше предела пропорциональности, но меньше предела текучести. Теоретическое определение критических на­пряжений для таких стержней значительно усложняется, так как явление потери устойчивости происходит при ча­стичном развитии пластических деформаций и перемен­ном модуле упругости.

В результате многочисленных опытов, подтвердив­ших правильность теоретических выводов, для стержней малой и средней гибкости установлены критические на­пряжения, которые представлены в виде кривой на рис. 7.7 б (участок 2).

Для несущей способности сжатых стержней существенной является так­же местная устойчивость их элемен­тов, которая зависит от гибкости по­лок, стенок или других элементов се­чения стержня. Гибкость этих эле­ментов определяется отношением ха­рактерных размеров их (ширины по­лок или высоты стенки сечения) к их толщине: b/δ или h/δ.

Итак, несущая способность самого элемента может быть исчерпана в ре­зультате того, что напряжение в кон­струкции достигло предела текучести (потеря прочности) или критического значения (потеря устойчивости). Эти две совершенно различные по своей природе причины нельзя смешивать.

Условия предельных состояний сжатых стержней по прочности и по устойчивости имеют вид.:

σ < σ_т /k; σ ≤ σ _кр/ k,

где σ - напряжения в конструкции от расчетных нагрузок; k - ко­эффициент запаса.

Если обозначить отношение двух предельных напряжений коэффициентом φ

φ = σ_кр/ σ_т (откуда σ_кр = φ·σ_т),

то вторую проверку по устойчивости можно записать (учтя, что за наименьший предел текучести принимается расчетное сопротивление R)

σ = φ·σ_т /k = φ·R или для удобства расчета и сравнения результатов в виде рабочей формулы:

σ = N / (φ·F_бр ) ≤ R. (7.3)

Коэффициент φ, уменьшающий расчетное сопротивле­ние до значений, обеспечивающих устойчивое равнове­сие, называется коэффициентом продольного изгиба. Нормами установлены значения коэффициента φ с уче­том влияния случайных эксцентриситетов.

Коэффициент φ может интересовать нас только при значениях φ<1, так как в противном случае будет σ_кр> σ_т, т. е. возникает опасность потери несущей спо­собности по прочности. Характеризуя критические напря­жения, коэффициент φ является функцией гибкости стержня. На рис. 7.7 б приведена кривая 3 коэффици­ента φ. Значения коэффициента φ для сталей Ст3 и низко­легированных приведены в табл.7.1.

Расчет на сжатие стержней из алюминиевых сплавов аналогичен расчету стальных стержней. Значения коэф­фициента φ для Al сплавов приведены в СНиП II-24-74.

Значения критических напряжений, а следовательно, и коэффициента φ в сильной степени зависят от способа закрепления концов стержней. Приведенные в табл.7.1 значения φ определены для основного случая продоль­ного изгиба стержня, имеющего по концам шарниры. Для других способов закрепления стержней форма кри­вой продольного изгиба меняется, но ее можно привести к основному случаю путем замены действительной длины L расчетной (приведенной) длиной L_о, умножая длину стержня на коэффициент приведения μ. Тогда гибкость стержня при любом способе закрепления концов опреде­лится формулой

λ = L₀ /r = μL /r , (7.4)

Таблица 7.1

Коэффициенты φ для стоек из малоуглеродистых

и низколегированных сталей

Некоторые значения коэффициента приведения дли­ны даны в табл.7.2.