Устойчивость сжатых стержней

Если прямой стержень сжимать центрально прило­женной силой Р, то вначале стержень будет оставаться прямым, и это состояние равновесия его будет устойчивым. Устойчивое состояние равновесия упругого стержня характеризуется тем, что при незначительном отклонении под влиянием какого-либо воздействия (малое возмущение) он возвращается в первоначальное состояние после прекращения этого воздействия, совершив незначитель­ные затухающие колебания. Объяснить это можно так: внешняя сжимающая сила не может преодолеть сопроти­вление стержня тому незначительному изгибу, которому он подвергался при отклонении оси, а внутренняя упру­гая работа деформации изгиба стержня, полученная вследствие отклонения оси (потенциальная энергия из­гиба ∆Е), больше внешней работы (∆А), которую совер­шила сжимающая сила в результате сближения концов стержня при его изгибе: ∆Е > ∆А (рис. 7.7 а). При дальнейшем увеличении сжимающая сила может достиг­нуть такого значения, что ее работа будет равна работе деформации изгиба, вызванного любым достаточно ма­лым возмущающим фактором. В этом случае ∆Е = ∆А, и сжимающая сила достигает своего критического значения Ркр. Таким образом, прямой стержень при нагрузке его до критического состояния имеет прямолинейную форму устойчивого состояния равновесия.

При достижении си­лой критического значения его прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой, стержень может изогнуться в плоскости наименьшей жесткости, и устой­чивой формой равновесия у него уже будет криволиней­ная форма.

Если стержень имеет небольшую первоначальную кривизну (или незначительную внецентренность сжима­ющей силы), то при возрастании нагрузки он сразу же отклоняется от прямой. Это отклонение вначале мало, и только тогда, когда сжимающая сила приближается к критической (отличаясь от нее в пределах 1%), отклоне­ния становятся значительными, что и означает переход в неустойчивое состояние.

 

Рис. 7.7. Продольный изгиб центрально-сжатых стержней:

а - стержень с шарнирными соединениями; б - кривые критических напря­жений и коэффициента продольного изгиба стали Ст3; 1- кривая Эйлера; 2 - кривая критических напряжений с учетом пластической работы материа­ла; 3 - кривая коэффициента φ

 

Таким образом, неустойчивое состояние равновесия характеризуется тем, что уже при малом увеличении сил происходят большие перемещения. Дальнейшее незначительное увеличение сжимающей си­лы Р>Ркр вызывает всевозрастающие отклонения, и стержень теряет свою несущую способность. При этом различным видам закреплений стержня соответствуют различные значения критической силы. Для показанного на рис. 7.7 а центрально-сжатого стержня, имеющего по концам шарнирные закрепления (основной случай), критическая сила определена Л. Эйлером в виде

(7.1)

 

Напряжение, которое возникает в стержне от крити­ческой силы, называется критическим напряжением формула:

 

(7.2)

где - минимальный радиус инерции;

Fбр – площадь брутто поперечного сечения стержня;

λ = l/rmin – гибкость стержня, равная отношению длины стержня к радиусу инерции его сечения.

Из формулы (7.2) видно, что критическое напряже­ние зависит от гибкости стержня (так как числитель л2Е - величина постоянная), а гибкость - величина, за­висящая лишь от геометрических размеров стержня. Следовательно, можно повысить критическое напряже­ние, изменяя гибкость стержня главным образом за счет увеличения радиуса инерции сечения. Эта возможность должна быть использована при конструировании. Таким образом, критическое напряжение можно также рассмат­ривать как параметр, характеризующий выгодность по­добранного сечения элемента, предназначенного для ра­боты на сжатие. Графически формула Эйлера (7.2) изображается в виде гиперболы (рис. 7.7 б, кривая 1). Критические напряжения, определенные по формуле Эйлера, справед­ливы лишь при постоянном модуле упругости Е, т. е. в пределах пропорциональности, а именно для стержней большой гибкости (λ>105), что следует из уравнения (7.2) при σкр = σпц для стали Ст3 σпц =20 кН/см2, то λ = 105 (рис. 7.7).

Критические напряжения для стержней малой (λ < 30) и средней (30< λ <100) гибкости получаются больше предела пропорциональности, но меньше предела текучести. Теоретическое определение критических на­пряжений для таких стержней значительно усложняется, так как явление потери устойчивости происходит при ча­стичном развитии пластических деформаций и перемен­ном модуле упругости.

В результате многочисленных опытов, подтвердив­ших правильность теоретических выводов, для стержней малой и средней гибкости установлены критические на­пряжения, которые представлены в виде кривой на рис. 7.7 б (участок 2).

Для несущей способности сжатых стержней существенной является так­же местная устойчивость их элемен­тов, которая зависит от гибкости по­лок, стенок или других элементов се­чения стержня. Гибкость этих эле­ментов определяется отношением ха­рактерных размеров их (ширины по­лок или высоты стенки сечения) к их толщине: b/δ или h/δ.

Итак, несущая способность самого элемента может быть исчерпана в ре­зультате того, что напряжение в кон­струкции достигло предела текучести (потеря прочности) или критического значения (потеря устойчивости). Эти две совершенно различные по своей природе причины нельзя смешивать.

Условия предельных состояний сжатых стержней по прочности и по устойчивости имеют вид.:

σ < σт /k; σ ≤ σ кр/ k,

где σ - напряжения в конструкции от расчетных нагрузок; k - ко­эффициент запаса.

Если обозначить отношение двух предельных напряжений коэффициентом φ

φ = σкр/ σт (откуда σкр = φ·σт),

то вторую проверку по устойчивости можно записать (учтя, что за наименьший предел текучести принимается расчетное сопротивление R)

σ = φ·σт /k = φ·R или для удобства расчета и сравнения результатов в виде рабочей формулы:

σ = N / (φ·Fбр ) ≤ R. (7.3)

Коэффициент φ, уменьшающий расчетное сопротивле­ние до значений, обеспечивающих устойчивое равнове­сие, называется коэффициентом продольного изгиба. Нормами установлены значения коэффициента φ с уче­том влияния случайных эксцентриситетов.

Коэффициент φ может интересовать нас только при значениях φ<1, так как в противном случае будет σкр> σт, т. е. возникает опасность потери несущей спо­собности по прочности. Характеризуя критические напря­жения, коэффициент φ является функцией гибкости стержня. На рис. 7.7 б приведена кривая 3 коэффици­ента φ. Значения коэффициента φ для сталей Ст3 и низко­легированных приведены в табл.7.1.



Расчет на сжатие стержней из алюминиевых сплавов аналогичен расчету стальных стержней. Значения коэф­фициента φ для Al сплавов приведены в СНиП II-24-74.

Значения критических напряжений, а следовательно, и коэффициента φ в сильной степени зависят от способа закрепления концов стержней. Приведенные в табл.7.1 значения φ определены для основного случая продоль­ного изгиба стержня, имеющего по концам шарниры. Для других способов закрепления стержней форма кри­вой продольного изгиба меняется, но ее можно привести к основному случаю путем замены действительной длины L расчетной (приведенной) длиной Lо, умножая длину стержня на коэффициент приведения μ. Тогда гибкость стержня при любом способе закрепления концов опреде­лится формулой

λ = L0 /r = μL /r , (7.4)

 

Таблица 7.1

Коэффициенты φ для стоек из малоуглеродистых

и низколегированных сталей

Гибкость       Классы стали      
элементов С 235 С 285 С 345 С 390 С 440 С 590 С 750
λ Ст3 Ст4   низколегированные  
1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,988 0,987 0,986 0,985 0,984 0,983 0,982
0,970 0,968 0,965 0,962 0,956 0,953 0,950
0,943 0,935 0,932 0,927 0,916 0,909 0,903-
0,905 0,892 0,888 0,878 0,866 0,852 0,838
0,867 0,843 0,837 0,823 0,810 0,790 0,760
0,820 0,792 0,780 0,764 0,740 0,700 0,660
0,770 0,730 0,710 0,682 0,650 0,610 0,558-
0,715 0.С60 0,637 0,604 0,570 0,518 0,432
0,655 0,592 0,563 0,523 0,482 0,412 0,343
0,582 0,515 0,482 0,437 0,396 0,336 0,288
0,512 0,440 0,413 0,370 0,325 0,273 0,230
0,448 0,383 0,350 0,315 0,275 0,230 0,192
0,397 0,330 0,302 0,264 0,232 0,196 0,164
0,348 0,289 0,256 0,228 0,198 0,168 0,142
0,305 0,250 0,226 0,198 0,173 0,148 0,123
0,270 0,220 0,200 0,176 0,153 0,130 0,100
0,240 0,195 0,178 0,156 1,137 0,116 0,096
0,216 0,175 0,160 0,139 0,122 0,102 0,086
0,196 0,158 0,142 0,126 0,108 0,092 0,077
0,175 0,142 0,129 0,112 0,098 0,082 0,069
0,160 0,130 0,118 0,102 0,089 0,075 0,063
0,146 0,119 0,108 0,093 0,081 0,068 0,057

 

 

Некоторые значения коэффициента приведения дли­ны даны в табл.7.2.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Общая характеристика | Устойчивость стоек со сплошными поперечными сечениями


Дата добавления: 2018-03-02; просмотров: 1519; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2018 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.071 сек.