Две зависимые выборки.

В зависимых выборках сравнение величин и осуществляется с помощью величины , являющейся разностью между величинами и ( ).

Проверка гипотезы осуществляется следующим образом:

1) выдвигаем гипотезы: , данные гипотезы соответствуют гипотезам . При таком виде конкурирующей гипотезы критерий будет иметь двустороннюю критическую область.

2) вычисляем наблюдаемое значение критерия по формуле: , где - вычисленная выборочная средняя ряда разностей, - стандартное отклонение ряда разностей, - объем выборки (зависимые выборки всегда имеют одинаковый объем, то есть ).

3) по таблице критических точек распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область) находим , где - уровень значимости, - число степеней свободы, .

4) сравниваем и .

Если , то гипотеза отвергается, принимается гипотеза , следовательно, выборочные средние различаются значимо, генеральные средние в исследуемых совокупностях не равны между собой.

Если , то нет оснований отвергать гипотезу , следовательно, выборочные средние различаются незначимо, генеральные средние в исследуемых совокупностях равны.

Замечание:

Задача 1. Изучалось влияние тренировок на скорость сенсомоторной реакции спортсменов (в миллисекундах). Для этого случайным образом было отобрано 10 спортсменов. В таблице приведены значения изучаемого показателя до проведения тренировок и после них:

Установлено, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей. Можно ли утверждать, что тренировки оказывают влияние на скорость сенсомоторной реакции спортсменов?

Решение: Так как выборки зависимы, извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, решим задачу с помощью t – критерия Стьюдента для зависимых выборок.

1 этап. Предварительная статистическая обработка данных. Вычислим для всех столбцов таблицы.

Вычислим числовые характеристики выборки:

2 этап.Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних.

а) выдвигаем гипотезы: .

б) наблюдаемое значение критерия: ;

в) по таблице критических точек распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область) находим

г) , следовательно, гипотезу отвергаем, принимаем . Следовательно, генеральные средние не равны, выборочные средние различаются статистически значимо. Значит, при можно считать, что тренировки оказывают влияние на скорость сенсомоторной реакции спортсменов.

Вывод: При можно считать, что тренировки оказывают влияние на скорость сенсомоторной реакции спортсменов.

Задача 2. Изучалось влияние нового железосодержащего препарата на уровень гемоглобина при железодефицитной анемии. Контрольную группу составили пациенты, получавшие традиционный препарат, опытную – получавшие новый препарат. Результаты приведены в таблице.

Можно ли при по результатам исследования сделать вывод, что исследуемый препарат вызывает повышение уровня гемоглобина в крови больных железодефицитной анемией. Установлено, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей.

Решение: Так как выборки независимы, извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, применим t-критерий Стьюдента для независимых выборок.

1 этап. Предварительная статистическая обработка данных.

2 этап.Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий.

а) выдвигаем гипотезы:

б) наблюдаемое значение критерия:

в) по таблице критических точек находим

г) , следовательно, нет оснований отвергать гипотезу , генеральные дисперсии равны. Значит, можно применять t-критерий Стьюдента.

3 этап. Проверим гипотезу о равенстве генеральных средних.

а) выдвигаем гипотезы:

б) наблюдаемое значение критерия:

в) по таблице критических точек распределения Стьюдента (односторонняя критическая область) находим

г) , следовательно, гипотезу отвергаем, принимаем . Следовательно, генеральные средние не равны, выборочные средние различаются значимо. Это различие обусловлено действием фактора. Значит, при можно считать, что исследуемый препарат вызывает повышение уровня гемоглобина в крови больных железодефицитной анемией.

Вывод:При можно считать, что исследуемый препарат вызывает повышение уровня гемоглобина в крови больных железодефицитной анемией.