О компонентах математического мышления (математических способностей)

Рассмотрим специфику процесса математического развития ребенка дошкольного возраста с точки зрения развития мате­матического стиля мышления и математических способностей. Попробуем подойти к данной проблеме как к проблеме мето­дической, т.е. рассмотрим возможность построения методиче­ской концепции математического развития ребенка.

Проблема формирования и развития математических спо­собностей детей — одна из наименее разработанных методиче­ских проблем дошкольной педагогики. Крайняя разнородность взглядов на само понятие «математические способности» обу­словливает отсутствие сколько-нибудь концептуально обосно­ванных методик, что, в свою очередь, порождает сложности в работе педагогов. Возможно, именно поэтому не только среди родителей, но и среди большинства воспитателей распростра­нено достаточно фатальное отношение к математике в жизни ребенка: математические способности либо даны, либо не да­ны, и тут уж ничего не поделаешь!

Безусловно, способности к тому или иному виду деятельно­сти обусловлены индивидуальными различиями психики чело­века, в основе которых лежат генетические комбинации био­логических (нейрофизиологических) компонентов. Однако сегодня нет доказательств того, что те или иные свойства нерв­ных тканей напрямую влияют на проявление или отсутствие тех или иных способностей. Более того, целенаправленная компенсация неблагоприятных природных задатков может привести к формированию личности, обладающей ярко выра­женными способностями, чему в истории немало примеров. Математические способности относятся к группе так называе­мых специальных способностей (как и музыкальные, изобра­зительные и др.). Для их проявления и дальнейшего развития требуются усвоение определенного запаса знаний и наличие определенных умений, в том числе и умения применять имею­щиеся знания в мыслительной деятельности.

Мыслительная деятельность — основной вид деятельности математика, его орудие — карандаш и лист бумаги. Воплоще­ние в жизнь результатов этой деятельности — один из мощ­нейших факторов развития цивилизации сегодняшнего дня.

Традиционно проблему усвоения и накопления запаса знаний математического характера в дошкольной педагогике связывают в основном с формированием представлений о на­туральном числе и действиях с ним (счет, присчитывание, арифметические действия и сравнение чисел, измерение ска­лярных величин, т. е. величин, результат измерения которых выражается через неотрицательные числа и др.). Таковы традиционные программы формирования математических представлений дошкольника советского периода (А.М. Леуши-на, Л.С. Метлина, Г.В. Тарунтаева), таковы и альтернативные программы сегодняшнего дня — «Радуга», «Детство», «Раз­витие», «Из детства в отрочество» и др.

Во всех этих программах математическое содержание вы­строено вокруг понятия «натуральное число и действия с ним»; усвоение содержательной (знания) и операционной (умения) стороны программы — цель процесса формирования элемен­тарных математических представлений. Иными словами, под «определенным запасом знаний» подразумеваются знания о натуральном числе, а под «наличием ряда определенных уме­ний» — ряд умений предметного характера (арифметическо­го): счет, приемы присчитывания и отсчитывания, использо­вание символики (цифр и знаков действия), решение простых типовых задач и т. д.

Анализ состояния проблемы формирования и развития ма­тематических способностей дошкольников показывает: все без исключения исследователи (как отечественные, так и зарубеж­ные) связывают ее не с содержательной стороной предмета, а с процессуальной стороной мыслительной деятельности. При всем разнообразии мнений о сути и содержании понятия «математические способности» исследователи (А.В. Бруш-линский, А.Н. Колмогоров, Б.А. Крутецкий, В.В. Давыдов, З.И. Калмыкова, А.Я. Хинчин, Ю.М. Колягин, Д. Пойа, Л.В. Виноградова, И.В. Дубровина, К.А. Рыбников и др.) отмечают такие специфические особенности мыслительного процесса математически способного ребенка (а также профес­сионального математика), как" гибкость мышления, т. е. не­шаблонность, неординарность, умение варьировать способы решения познавательной проблемы, легкость перехода от од­ного пути решения к другому, умение выходить за пределы привычного способа деятельности и умение находить новые способы решения проблемы при измененных условиях.

Очевидно, что эти особенности мышления напрямую зави­сят от особой организованности памяти (свободных и связан­ных ассоциаций), воображения и восприятия. Исследователи выделяют также такую характеристику, как глубина мышле­ния, т. е. умение проникать в сущность каждого изучаемого факта и явления, умение видет> их взаимосвязи с другими фак­тами и явлениями, выявлять специфические, скрытые особен­ности в изучаемом материале¹

Анализ рассматриваемой характеристики говорит о том, что в ее основе, очевидно, лежит способность к так называемому анализирующему наблюдению, отмеченному как важный ком­понент в процессе развивающего обучения².

Среди важнейших характеристик математического мышле­ния многие исследователи отвечают и целенаправленность мышления, сочетающуюся с широтой, т. е. способность к фор­мированию обобщенных способов действий, умение охватить проблему целиком, не упуская деталей. Психологический ана­лиз этих категорий показывает: в их основе должны лежать специально сформированная или природная склонность к структурному подходу к-проблеме и предельно высокая устойчивость, концентрация I большой объем внимания че­ловека.

Проведенный выше анализ категории «математическое мышление» (которое является базой для формирования и раз­вития математических способностей) свидетельствует о том, что это понятие в большой мере обусловлено особой спецификой так называемых познавательных способностей, включающих в себя сенсорные (связанные с восприятием и наблюдением объ­ектов и явлений) и интеллектуальные (обусловливающие ис­следование и структурирование поступающей извне информа­ции) способности.

Наличие специальных знаний (предметных) позволяет человеку оперировать знаковыми системами, присущими дан­ной науке, выражать и описывать этот процесс в общеприня­той символике (с помощью цифр, букв, знаков и символов) и, таким образом, дать возможность стороннему наблюдателю (учителю, воспитателю и др.) увидеть и оценить результаты этого процесса. Причем наиболее важная часть процесса мате­матического мышления, имеющая совершенно специфиче­скую отвлеченную образность (которую А.Н. Колмогоров называл способностью «мыслить такими образами, которые непонятны и невидимы для тех, кто видит лишь голые сим­волы»¹), остается «за кадром». /

Содержание образования как существенный фактор, влияющий на развитие стиля мышления

Построение процесса формирования элементарных матема­тических представлений ребенка на базе преимущественной работы с числом и операций с ним (счет и арифметические дей­ствия) неизбежно приводит к насыщению этого процесса зна­ковой символикой. Это обеспечивает «прозрачность» с точки зрения методики организации этого процесса и его высокую контролируемость, но отнюдь не формирует математическое мышление, а следовательно, и математические способности. Опытные педагоги знают, что высокая восприимчивость ребен­ка к арифметическому материалу вовсе не гарантирует на­личия у него математических способностей.

Для ребенка-дошкольника основной путь развития — эм­пирическое обобщение, т. е. обобщение своего собственного чувственного опыта¹. Накопление этого чувственного опыт связано с активностью сенсорных способностей ребенка «переработку» его обеспечивают интеллектуальные способ ности. А для того чтобы этот обоюдный процесс «пошел» необходимо обеспечить ребенку условия для наблюдения и экс периментирования². Первым условием является то, что дл^ дошкольника содержание должно быть чувственно воспри нимаемо и должно позволять активное экспериментирование результат которого, сформулированный в эмпирическом обоб щении (а в лучшем варианте еще и символически обозна ченный), как раз и будет собственно воплощением момента продвижения (развития) ребенка на пути познания окружаю­щего мира.

Однако если мы обратимся с этой позиции к традиционно­му арифметическому содержанию, сейчас же возникает про­тиворечие практически непреодолимого характера: число как математическое понятие является абстракцией высокой сте­пени общности. Какой бы путь построения понятия «натураль­ное число» ни был выбран — на основе понятия «множество» или на основе понятия измерения скалярных величин, — само первичное понятие арифметики — число — является абстрак­цией, не воспринимаемой чувствами непосредственно. Любая «привязка» его к непосредственно воспринимаемому объекту, например множеству елочек (морковок, зайчиков), фактиче­ски двойное понижение уровня абстрактности, а значит, и общ­ности самого понятия. Двойное, потому что в данном случае мы обращаемся не к множеству вообще (т. е. обращаемся обычно не к графической интерпретации, где элементы мно­жества изображены точками или кругом Эйлера и т. п.), а к «множеству зайчиков» (морковок, елочек). И именно этот образ ребенок непосредственно воспринимает, именно с ним экспериментирует, фиксируя результаты эксперимента в эм­пирическом обобщении.

Не случайно, многие дети даже в школе, в первом классе, теряют результаты этих обобщений при замене зайчиков на чашки, воспринимая такую замену как новую ситуацию, тре­бующую повторения всего процесса осмысления заново.

Теоретически многократное повторение экспериментов с множеством разных объектов должно привести к правиль­ному эмпирическому обобщению. Практически же этого во многих случаях не происходит. Причины самые разные, начи­ная от специфики индивидуальных особенностей восприятия ребенка и заканчивая вовсе банальным фактом — нехваткой наглядных материалов, исключающей возможность детям экс­периментировать самостоятельно.

Отсюда несоблюдение второго важнейшего условия продви­жения ребенка по пути развития, так как систематическая под­мена самостоятельной деятельности наблюдением за деятель­ностью педагога не является в данном случае полноценной заменой.

Существующая традиция сразу высоко ставит планку пе­ред ребенком, требуя от него практически с первых же шагов не только высокого уровня абстрагирования, не только выпол­нения заданий в отсутствие непосредственно воспринимаемых сенсорикой адекватных аналогов (моделей) понятия, но и сис­тематических действий в умственном плане, в плане представ­лений (Мальвина. Представь себе, что у тебя есть два яблока. Некто взял у тебя яблоко. Буратино. Да я же не отдам Некту яблоко, хоть он дерись!). В такой ситуации действительно вы­живают сильнейшие, т. е. те дети, которым природные задатки позволяют самостоятельно справиться со всеми трудностями этого процесса.

Сложную и очень двойственную роль играет в этом процес­се и ранняя символизация (т. е. раннее введение цифровой и знаковой символики). Сама по себе эта символика запомина­ется детьми достаточно легко, поскольку символизация — это привычный для дошкольников способ кодирования реально­сти в игре. Однако в отсутствие запаса адекватных наглядных представлений об объектах символизации символика приоб­ретает для ребенка совершенно самостоятельное значение. При этом внешнее манипулирование ею замещает внутреннее опе­рирование математическими понятиями и отношениями. На­пример, можно часто наблюдать, как ребенок, легко и свобод­но перечисляющий числительные первого, второго, третьего десятка, теряется, когда его просят назвать числа от 9 до 5. Еще пример. Ребенок 4-5 лет бодро считает кружки, вы­ставленные на фланелеграфе в ряд («красный», «синий», «желтый», «зеленый», «голубой»): «Один, два, три, четыре, пять». На вопрос: «Можно ли начать считать с голубого?» — отвечает отрицательно. Его мнение: «Надо начинать с красно­го. Или их надо переставить, чтобы голубой был первым».

Приведем последний пример: 6-7-летнему ребенку показы­вают запись: 1.2.4.3.5.6, 7,9,8
9, 8, 7,6,5,4,3,2,11,2,3,4, 5,6, 7, 8,9 1.3.2.5.4.7, 6,9,8

Задание — «Выбери ряд чисел, которым можно пользовать­ся при счете предметов» — он не воспринимает, теряется, не понимает, чего от него хотят. Однако достаточно изменить формулировку (найди ряд, где числа записаны в правильном порядке), чтобы ребенок легко нашел правильный ответ. Но такая формулировка полностью меняет ориентацию задания на выявление понимания закономерности построения нату­рального ряда чисел.

Аналогичных примеров можно привести немало, в том чис­ле из школьной практики. Они убедительно доказывают: сим­волика довольно часто живет «самостоятельной» жизнью в представлениях ребенка и при этом порой весьма причудли­во связана с реальным смыслом понятия или отношения. До­казательство тому — приведенные выше примеры: дети могут хорошо запоминать как сами символы, так и тот порядок, в котором педагог их предъявляет. Желаемого же осмысления и освоения связи понятий и отношений с кодирующей их сим­воликой не происходит. Приведенные примеры также демон­стрируют, с одной стороны, отсутствие у детей гибкости и глу­бины мышления, с другой — очевидность того, что главную отрицательную роль здесь играет хорошо воспринятая «на память» формализация (т. е. символика в жестко заданной форме).