Понятие вариации признака и показатели вариации

Термин вариация произошёл от латинского слова variation – изменение, колеблемость, различие. Поэтому иногда, исходя из общего толкования этого слова, под вариацией понимают различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности. Однако, в статистике не всякое различие принято называть вариацией.

Под вариациейв статистике понимают такие количественные изменения исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены влиянием действия различных факторов. Данное определение вариации, хоть и неявно, требует, во-первых, задания количественной меры вариации и, во-вторых, выявления действующих на неё факторов.

Средние величины, рассмотренные в разделе 4.2, дают обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но они не показывают строения совокупности, что существенно для её познания. Например, в некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от неё отличаются, в таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность. Но чаще отдельные значения признака сильно отличаются от среднего, и тогда среднее значение недостаточно хорошо представляет всю совокупность.

Для измерения вариации применяются различные абсолютные и относительные показатели.

К основным абсолютным показателям вариации относятся:

- размах колебаний

- среднее линейное отклонение

- дисперсия

- среднее квадратическое отклонение

Размах вариации(размах колеблемости) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности

Достоинство этого показателя – простота расчёта. Однако размах вариации зависит только от величин крайних значений признака, поэтому область его применения ограничена достаточно однородными совокупностями. В частности, на практике он находит применение в предупредительном контроле качества продукции.

Среднее линейное отклонениевычисляется по следующим формулам:

- для несгруппированных данных

- для сгруппированных данных

Дисперсияпредставляет собой среднюю квадратов отклонений значений признака от их средней величины и рассчитывается по формулам:

- для несгруппированных данных

- для сгруппированных данных

Среднее квадратическое отклонениеесть корень квадратный из дисперсии

и даёт обобщающую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности.

К основным относительным показателям вариации, называемым показателями относительного рассеяния,относятся:

- коэффициент осцилляции

- относительное линейное отклонение

- коэффициент вариации

Относительные показатели вариации исчисляются в процентах.

Коэффициент осцилляцииотражает относительную колеблемость крайних значений признака от его средней величины

Относительное линейное отклонениехарактеризует долю абсолютных отклонений от средней величины

Коэффициент вариациипредставляет собой наиболее распространённый показатель колеблемости всех вариант совокупности, используемый для оценки типичности средних величин

6.2. Дисперсия, её математические свойства и способы расчёта

Дисперсия наряду со средним квадратическим отклонением являются мерилом надёжности средней величины. Чем меньше дисперсия и среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает всю представляемую ею совокупность.

Дисперсия обладает рядом свойств (доказываемых в математической статистике), которые часто позволяют упростить расчёты. Эти свойства следующие:

1. Если из всех значений вариант отнять какое-либо постоянное число то дисперсия от этого не изменится.

2. Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число то дисперсия уменьшится от этого в раз.

3. Средний квадрат отклонений от любой величины отличной от средней арифметической всегда больше дисперсии, причём

или

Используя свойства дисперсии, её можно вычислить упрощёнными способами без привлечения формулы, определяющей дисперсию.

Из последней формулы в случае, когда следует

т. е. дисперсия равна разности среднего квадрата признака минус квадрат среднего значения признака. В статистике величины и называют начальными моментами второго и первого порядка, соответственно.

Способ расчёта дисперсии по формуле

называется способом моментов.

В случае расчёта дисперсии интервального вариационного ряда при условии равных интервалов применяется модифицированный способ моментов, или способ отсчёта от условного нуля. Используя второе свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала , получим