Аппроксимация экспериментальных данных

Формы и методы обработки результатов измерений

Важнейшим этапом программы эксперимента является выбор методов обработки и анализа экспериментальных данных.

Формами представления экспериментального материала могут служить таблицы, графики, номограммы, формулы.

Таблица, как правило, используется для записи результатов непосредственных измерений и результатов расчета параметров, если не используется автоматическая обработка данных с применением компьютера.

Основные методы обработки экспериментальных данных: графические, математические, критериальные и их сочетания.

Графические методы используются для наиболее наглядного представления экспериментальных результатов, понимания их физической сущности, выявления тенденции и общего характера функциональной связи между величинами, наглядного определения экстремума. Как правило, графические методы предшествуют обработке данных с помощью математического аппарата. При необходимости выполнять расчеты по полученным эмпирическим формулам от многих переменных рационально построение номограмм, завершающих процесс математической обработки данных.

Для графического изображения экспериментальных результатов, как правило, применяют систему прямоугольных координат.

Для более наглядного изображения нелинейных функций применяют полулогарифмические и логарифмические координаты сетки.

Для изображения экстремумов функций необходимо использовать более плотную информацию об измеряемой величине.

Математические методы обработки и анализа данных применяются для оценок погрешностей и достоверностей установления критериев, доверительных интервалов, тесноты связей, эмпирических формул и т.д.

Критериальные методы обработки используют для получения оценки, распространяющейся не только на один полученный результат, но и на целый класс явлений. Обобщенная критериальная зависимость незаменима при изучении сложных систем при большом количестве варьируемых факторов. Критериальная обработка результатов позволяет сократить количество варьируемых факторов за счет их комбинаций в критерии подобия и тем самым уменьшить число необходимых экспериментов.

Аппроксимация экспериментальных данных

Важнейшей задачей физического эксперимента является установление функциональной зависимости между изучаемыми признаками, например, двумя переменными физическими величинами.

Графическое изображение точек на плоскости, конечно, позволяет наглядно представить динамику развития процесса, выявить определенные тенденции, но для обеспечения удобства последующего практическое использование полученных эмпирических результатов в вычислениях, математических моделях, задачах оптимизации и во многих других случаях необходимо решение ряда проблем.

Как правило, возникает необходимость интерполировать, или экстраполировать функциональную зависимость, т.е. найти значения функции соответствующие аргументу, лежащие внутри или вне области эксперимента. Имеющиеся погрешности эксперимента в значениях полученных величин желательно «сгладить». Это приводит к задаче построения аппроксимирующей (приближающей) функции, описывающей зависимость между величинами, полученными в результате экспериментальных измерений. Формулы, изображающие такую функциональную зависимость, называются эмпирическими формулами.

Процесс построения аппроксимирующей функции состоит из двух этапов:

- выяснение общего вида приближающей функции;

- определение параметров, для которых приближение оказывается наилучшим.

В учебном физическом эксперименте, как правило, одной из задач является сопоставление полученных экспериментальных данных с теоретическими зависимостями, лежащими в основе лабораторной работы. Выбор аппроксимирующей функции определён законами (соотношениями), определяющими физические величины формулами из соответствующего раздела физики и однозначно определяет вид приближающей функции.

В случае лабораторной работы с элементами научно – исследовательского характера вид аппроксимирующей функции может быть произвольным.

Поэтому сначала полученные опытные точки наносятся на график и оцениваются визуально. Затем подбирается соответствующего вида кривая, желательно из числа наиболее простых элементарных функций с минимальным числом параметров.

После соответствующего выбора вида функции переходят к этапу определения параметров приближающей функции уже заданного вида одним из математических методов.

Основным принципом, при этом является необходимость прохождения кривой между измеренными точками так, чтобы некоторая заданная мера для отклонения оказалась минимальной. Эта задача является основной задачей выравнивания (сглаживания) результатов измерения и вывода эмпирических формул.

Существуют различные математические методы решения задачи аппроксимации. Наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов, разработанный Гауссом. Его краткое изложение представлено в приложении 1. В компьютерной программе ЕХЕL реализация метода осуществляется при использовании режима линии тренда и выбранного закона аппроксимации экспериментальных данных.