Вычисление случайных погрешностей при прямых измерениях

При прямых измерениях значение искомой величины получают непосредственно по показаниям измерительного прибора. Так, например, длина измеряется линейкой, время по часам и т. д.

При проведении измерений величины х, из-за наличия случайных ошибок, получаем n различных значений: х₁, х₂, х₃… х_n

Истинным значением некоторой величины х принято считать среднее арифметическое значение этой величины.

,

.

Разность между средним значением и результатом i – го измерения называют абсолютной погрешностью отдельного измерения величины х

Средняя абсолютная погрешность измерения величины х

.

Для характеристики точности измерений служит относительная ошибка, которую принято выражать в процентах или в частях целого

ּ .

Доверительный интервал – интервал значений величины х, внутри которого с определенной вероятностью, называемой доверительной, находится величина х_ист:

.

Для нахождения доверительного интервала и доверительной вероятности необходимо установить закон, которому подчиняются случайные отклонения измеряемой величины от ее среднего арифметического значения. Этот закон – функция распределения, или плотность вероятности величины х.

.

Зная , можно определить вероятность того, что непрерывная случайная величина будет иметь значение в интервале от до .

.

Кривая нормального распределения и ее физический смысл

В лабораторном эксперименте проведено n измерений одной и той же физической величины и получены ее значения х₁, х₂, х₃,...х_n. Отложив эти значения в виде точек на оси абсцисс (рис.1), получим на этой оси множество точек (если число измерений достаточно велико), причем их плотность в одних местах будет больше, в других меньше. Выделим на оси абсцисс равные интервалы Δx = d, и сосчитаем, сколько точек попало в каждый интервал. Построив над каждым интервалом прямоугольник с высотой, равной количеству точек в данном интервале, получим ступенчатую кривую (гистограмму).

Например, в выделенный интервал, заключенный между значениями х_i и х_i + d, попало k_i точек и высота прямоугольника 1 равна k_i.

Отношение площади выделенного прямоугольника к площади всех прямоугольников, т.е. k_id/[(k₁ + k₂+ ... + k_n)d] = k_id/nd = k_i/n, определяет вероятность того, что при проведении единичного измерения его результат окажется в интервале между х_i и x_i + d.

Гистограмму строят так, чтобы сумма площадей всех прямоугольников была равна единице (такая процедура называется нормировкой). Тогда вероятность попадания результата измерения в интервале от х₁ до х₂ равна суммарной площади прямоугольников, заключенных между х₁ и х₂.

Если неограниченно увеличивать число измерений n, а интервал d устремить к нулю, то в пределе нормированная гистограмма перейдет в непрерывную кривую (рис.2), которую называют кривой нормального распределения. Функция распределения определяется формулой Гаусса

Физический смысл остается тем же: площадь под любым участком кривой нормального распределения равна вероятности «попадания» результата измерения в интервал х, ограниченный этим участком.

Входящую в формулу Гаусса величину s называют стандартным отклонением, а s² - дисперсией измерения.

При достаточно большом числе измерений стандартное отклонение (или средняя квадратичная ошибка) определяется по формуле

Средняя квадратичная ошибка s используется, когда необходимо знать надежность полученных результатов.

В случае выполнения серии измерений, необходимо рассчитать средние арифметические каждого отдельного измерения и их средние квадратичные погрешности s, а затем определить среднюю квадратичную погрешность серии независимых прямых измерений одной и той же величины по формуле

или средняя квадратичная ошибка среднего значения

где: s - средняя квадратичная ошибка каждого отдельного измерения, n – число измерений.

При выполнении лабораторных работ студенты могут использовать как среднюю абсолютную ошибку, так и среднюю квадратичную. Какую из них применять указывается непосредственно в каждой конкретной работе (или указывается преподавателем).

Обычно если число измерений не превышает 3 – 5, то можно использовать среднюю абсолютную ошибку. Если число измерений порядка 10 и более, то следует использовать более корректную оценку с помощью средней квадратичной ошибки.