Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:
или в виде:
Перейдем к новым обозначениям
Получим:
После нахождения соответствующих интегралов получаем общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, и соответственно частное решение.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: . Имеем
; ; .
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям:
;
; .
Получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.
Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.
;
- верно.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения при условии . Имеем
; ; ; ; .
При получаем
Таким образом: или - частное решение.
Проверка: . Следовательно,
- что верно.
Пример. Решить уравнение Имеем
; ; ; .
Получаем:
- общий интеграл и - общее решение.
Пример. Решить уравнение Имеем
Пример. Решить уравнение при условии . Имеем
;
Интеграл, стоящий в левой части берётся по частям:
.
Если , то Итого, частный интеграл: .
Пример. Решить уравнение . Имеем
; ;
; ;
Получаем общий интеграл:
.
Пример. Решить уравнение .
Преобразуем заданное уравнение:
; ; ; .
Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.
Пример. Решить уравнение . Имеем
; ; ; ;
Допустим, заданы некоторые начальные условия и . Тогда:
Получаем частное решение
Дата добавления: 2017-09-19; просмотров: 382;