Производная сложной функции

 

Если и – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции вычисляется по формуле

. (8)

 

Обобщенная таблица производных:

1) ,где ,

в частности

а) ,

б) ;

2) где ,

в частности

;

3) где ,

в частности

;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .

Если для функции существует обратная функция , которая имеет производную , то верна формула

. (9)

Пример 1:Найти производную функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6)

Решение. 1.Функцию необходимо рассматривать как сложную функцию, где и -- дифференцируемые функции своих аргументов. Тогда согласно формуле (8) и соответствующим формулам таблицы производных, получим:

2. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

Вычисляем производную, используя правило дифференцирования суммы функций, формулу (8) и обобщенную таблицу производных:

3.Рассмотрим функцию как , где – также сложная функция. Применив формулу (8) дифференцирования сложной функции, обобщенную таблицу производных, а также правило дифференцирования частного двух функций, получим:

4.Пусть , тогда . Согласно формуле (8), получаем:

5.Рассмотрим функцию как , где .

Функцию можно представить в виде , где . Тогда:

6.Перед тем как дифференцировать функцию, преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:

Продифференцируем полученное выражение по формулам (3), (4), (5), (8) и соответствующим формулам таблицы производных:

Применив далее формулы тригонометрии, окончательно получим:

Пример 2. Вычислить , если .

Решение

Это сложная функция с промежуточным аргументом Дифференцируем её по формуле (8). При этом пользуемся первой формулой обобщенной таблицы производных при условии .

.

Вычислим значение производной при :

Пример 3.Вычислить , если

Решение

Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

.

Теперь продифференцируем выражение по формулам (3), (5), (8) и соответствующим формулам таблицы производных. Функцию рассмотрим как , где .

Теперь вычислим

и

Тогда

 








Дата добавления: 2017-09-19; просмотров: 433;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.011 сек.