Проекции морских навигационных электронных карт.

Морские навигационные ЭК в подавляющем большинстве случаев отображаются в проекции Меркатора. Меркаторская проекция - это равноугольная цилиндрическая проекция. Различают нормальную, поперечную и наклонную меркаторские проекции. Из них для представления навигационных ЭК в основном применяются две первые. С точки зрения судовождения главными достоинствами меркаторских проекций являются: возможность измерять натуральные, неискаженные углы, и зависимость частных масштабов только от положения точки, но не от направления измеряемой по небольшим частям искомой длины.

Нормальная проекция Меркатора (НПМ) используется для построения ЭК в диапазоне широт от 0 до 85°. Околополюсные районы в ней не могут быть отображены. Наибольшим достоинством НПМ для целей судовождения является представление локсодромии прямой

линией.

НПМ получается проектированием земного эллипсоида на боковую поверхность цилиндра, касательного к эллипсоиду по линии экватора (рис. 1.1,а). Ось этого цилиндра совпадает с осью Земли. Затем боковая поверхность цилиндра разрезается по образующей и разворачивается на плоскость (рис. 1.1,6).

В нормальной меркаторской проекции меридианы являются прямыми параллельными линиями, перпендикулярными к экватору. На поверхности цилиндра проекции меридианов проходят через точки касания земных меридианов с цилиндром, перпендикулярно к плоскости экватора. Расстояние Х в НПМ между двумя меридианами с долготами , равно

; (1.1)

где а - большая полуось земного эллипсоида.

Рис. 1.1. К пояснению нормальной проекции Меркатора.

Земные параллели в НПМ также прямые линии, перпендикулярные к меридианам. Ввиду того, что на земном эллипсоиде меридианы сходятся с приближением к полюсам, с ростом широты длина земной параллели между двумя меридианами становится меньше. Это уменьшение пропорционально уменьшению радиуса параллели r(j), который с учетом сжатия эллипсоида определяется формулой:

(1.2)

где е-эксцентриситет Земного эллипсоида.

В результате, масштаб проекции по параллели в НПМ увеличивается с ростом широты:

(1.3)

Приближенно можно считать изменение пропорциональным секансу широты.

В равноугольной проекции в каждой точке масштаб по параллели

равен частному масштабу по любому направлению, естественно, и масштабу по меридиану . В НПМ это достигается, когда расстояние от проекции экватора до проекции параллели с широтой φ на боковой поверхности цилиндра получается по формуле

; (1.4)

где

. (1.5)

Следует заметить, что НПМ не является перспективной проекцией, так как элементы Земли не проектируются на боковую поверхность цилиндра с помощью лучей, исходящих из одной точки.

В НПМ расстояние Y по меридиану от экватора до параллели с широтой φ, выраженное в экваториальных милях, называется меридиональной частью (МЧ) этой параллели. Расстояние ∆Y между двумя параллелями с широтами φ,φ₀, (ро называется разностью меридиональных частей (РМЧ). Ввиду увеличения масштаба с широтой величина РМЧ, соответствующая одинаковому значению разности широт, с ростом широты в НПМ увеличивается (рис. 1.1,б).

Для построения на экране дисплея карты в НПМ необходимо найти прямоугольные экранные координаты картографических объектов. Обозначим эти координаты х, у. Примем за их начало центр экранной области. Учитывая (1.1)-(1.5), можно найти следующие формулы для расчета значений х, у элементов ориентированной по норду карты:

(1.6)

где , - параллель и меридиан, проходящие через центр экрана дисплея;

Мо - масштаб по параллели (масштаб карты).

При ориентации карты "по курсу" прямоугольные экранные координаты картографических объектов рассчитываются по формулам

,

где , - экранные координаты объекта при ориентации карты по курсу.

В навигационно-информационных компьютерных системах для расчета экранных координат х, у применяются и приближенные формулы, обеспечивающие погрешность вычислений, которая не превышает половины размера пиксела. В этом случае ЭК, построенные по результатам расчета положения элементов карты по точным и приближенным формулам, являются идентичными. В качестве упрощенных приближений к меркаторской проекции используются линейное и таблично-интерполяционное.

Линейное приближение к нормальной проекции Меркатора применяется при построении крупномасштабных карт. В его основе лежит представление о Земле как о шаре с радиусом R, при котором одна минута дуги меридиана равняется одной морской миле. НПМ при таком условии получается проектированием точек Земного шара на боковую поверхность цилиндра с помощью лучей (линий), исходящих из центра Земли. В этом случае при ориентации ЭК по норду расчет экранных координат элементов карты производится по известным приближенным формулам

. (1.7)

Таблично-интерполяционное приближение к проекции Меркатора используется при отображении мелкомасштабных карт, когда линейное приближение не обеспечивает требуемую точность. Сущность этого метода состоит в следующем. В картографической базе данных в таблице опорных точек НПМ помещаются табличные значения широт (порядка 300-500 на интервал 0-85°) и соответствующие им рассчитанные по строгим формулам значения и .

Значения экранных координат элементов карты рассчитываются по формулам (1.6), в которых значение , находится линейной интерполяцией между значениями , а значения , -интерполяцией между U_k. При линейной интерполяции значения , , соответствующие широте , получаются по формулам ,

где

; .

Поперечная проекция Меркатора (ППМ) применяется для создания ЭК околополюсных районов Земли, в диапазоне широт от 80 до 90°. Земной эллипсоид в этом случае проектируется на поверхность цилиндра, касательного к эллипсоиду по меридиану. Ось такого цилиндра перпендикулярна оси Земли.

Рис. 1.2. Вид меридианов и параллелей в поперечной проекции Меркатора.

Если принять касательный к цилиндру земной меридиан за фиктивный экватор Земли, полюса этого экватора - за фиктивные полюса Земли, проходящие через фиктивные полюса большие круги - за фиктивные меридианы, а серию параллельных фиктивному экватору малых кругов на поверхности Земли - за фиктивные параллели, то свойства ППМ такой модели Земли будут аналогичны свойствам НПМ. Фиктивные меридианы и параллели на карте в ППМ будут взаимно перпендикулярными системами параллельных линий, а прямая линия будет фиктивной локсодромией, пересекающей фиктивные меридианы под одним углом.

Что касается действительных меридианов и параллелей, то на карте в ППМ они будут кривыми линиями (рис. 1.2), как и действительная локсодромия. На каргах околополюсных районов в ППМ меридианы близки к радиально расходящимся от полюса прямым линиям, а параллели - к концентрическим окружностям.

Область минимальных искажений Земной поверхности на карте в ППМ лежит в узкой полосе, центральной линией которой является фиктивный экватор.