Гармонические четверки

Пусть точки А,В,С,D принадлежат одной прямой. Говорят, что пара СD разделяет пару АВ, если их сложное отношение меньше 0, в противном случае пара СD не разделяет пару АВ.

Понятие разделенности не зависит от порядка рассмотрения пар АВ и СD и от порядка рассмотрения точек А,В,С,D.

Определение 4.5. Четверка точек А,В,С,D называется гармонической, если сложное отношение равно -1.

Свойства гармонической четверки

1) В гармонической четверке пары разделяют друг друга;

2) Гармонизм точек не нарушается при таких перестановках, которые не меняют состава пар.

Теорема 4.6. Для того чтобы четверка точек расширенной евклидовой прямой, содержащая одну несобственную точку и три собственных, была гармонической необходимо и достаточно, чтобы точка, находящаяся в паре с несобственной, была серединой отрезка, образованного другими двумя собственными точками.

Доказательство

(1) ( )Пусть . Докажем, что точка С – является серединой AB. По теореме 4.4. имеем: , или C- середина;

(2) ( ) Доказывается в зависимости от расположения несобственной точки.

Пусть А – несобственная точка, тогда В - середина CD. По свойствам сложных отношений имеем:

Определение 4.7. Сложным отношением четырёх прямых пучка называется число равное отношению двух отношений , где действительные числа, такие что и .

Теорема 4.8. Пусть - различные прямые, принадлежащие пучку. A,B,C,D – четыре точки, инцидентные одной прямой, не проходящей через центр пучка, образованные при пересечении прямых a,b,c,d и данной прямой.

Тогда сложное отношение четырёх точек равно сложному отношению четырёх прямых (AB,CD)= (ab,cd).

Доказательство

1. Условие принадлежности точки прямой можно записать в матричном виде

или

· точка

· точка

· точка

· точка

2. По определению сложного отношения прямых и точек имеем:

3. Подставим в условие принадлежности полученные равенства:

Ч.т.д.

Свойства сложного отношения точек и прямых

Утверждение 4.9.