Свойства сложного отношения четырех точек

1) Сложное отношение четырех точек прямой не зависит от выбора проективного репера на прямой;

2) Сложное отношение четырех точек прямой не зависит от выбора координатных столбцов из класса пропорциональных столбцов;

3) При перестановке пар точек сложное отношение не меняется ;

4) При перестановке точек одной пары сложное отношение меняется на обратное , ;

5) При перестановке точек двух пар сложное отношение не изменяется (AB,CD)=(BA,DC);

6) если в четверке есть одинаковые точки, то сложное отношение определяется:

D=C (AB,CC)=1; D=B (AB,CD)=0; D=A (AB,CA)=

7) при перестановке крайних (средних) точек, сложное отношение меняется на дополнительное при единице: (AB,CD)=1- (DB,CA)=1-(AC,BD).

Теорема 4.3. (существование и единственность точки, находящейся с данными тремя точками в сложном отношении)

Если A,B,C – различные точки, а - действительное число, то на данной прямой существует одна и только одна точка Х, такая, что .

Доказательство

1.Существование. Рассмотрим проективный репер R=(A,B,C,) и точку X в этом репере. По замечанию 4.1.1. к определению 4.1 точка Х имеет координаты . Значит, .

2. Единственность. Предположим, что точка Х’(х₁,х₂) и сложное отношение . По замечанию к определению 4.1 . Значит, или , т.е. .

Следствие: Если на прямой даны точки А,В,С,D и А’,В’,С’,D’ , причем сложное отношение этих четверок совпадает, то .

Теорема 4.4. (геометрический смысл сложного отношения 4-х точек на расширенной прямой)

Если точки А,В,С,D - собственные точки расширенной прямой, а - несобственная точка расширенной прямой, то сложное отношение точек)= ; .

Доказательство

1. Рассмотрим проективный репер, образованный точками . Тогда в нем , А(0,1),В(1,1). Пусть С(с_1,с₂), D(d_1,d₂).

2. По формуле нахождения сложного отношения найдем:

(1)

(2)

3. Выразим простые отношения данные в условии. Для этого определим координаты А,В,С,D в системе : , . Имеем, что А(0), В(1), С(с), D(d), где .

По формуле простого отношения находим и .

4. Подставив получившиеся равенства в условие теоремы, легко доказывается истинность равенств и .