Аксиоматический метод. Понятие об интерпретации, модели системы аксиом. Системы аксиом евклидовой геометрии. Геометрия до Евклида. «Начала Евклида».

Аксиоматический метод – способ построения научной теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) – аксиомы или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории (теоремы) должны выводиться чисто логическим путем, посредством доказательств. Назначение аксиоматического метода состоит в ограничении произвола при принятии научных суждений в качестве истин данной теории.

Построение науки на основе аксиоматического метода обычно называют дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих (или разъясняющих) их через ранее введенные понятия.

Таким образом, аксиоматическое построение некоторой теории осуществляется следующим образом:

1. Выбираются основные (первичные) понятия геометрии (чаще - точка, прямая, плоскость);

2. Между основными понятиями вводятся некоторые отношения (лежать на…, отношение порядка, конгруэнтности и т.д.);

3. Вводятся необходимые определения;

4. Вводится система аксиом, с помощью которых описываются отношения;

5. По правилам логического вывода затем доказываются следствия, леммы, теоремы, задачи.

Для осуществления аксиоматической теории в конкретном множестве объектов используется ее интерпретация (или модель), представляющая собой непустое множество, для которого указаны первичные понятия и отношения и выполнены аксиомы этой теории.

Так, например, в модели векторного пространства роль вектора может играть матрица, состоящая из вещественных чисел, или упорядоченная система вещественных чисел.

Определение 12.1. Совокупность всех следствий данной системы аксиом называется теорией той или иной математической структуры.

Так, курс элементарной геометрии – это теория евклидова трехмерного пространства. Из групповых аксиом следует теория групп и т.д.

Определение 12.2.Логическим, или аксиоматическим, доказательством называется конечная система высказываний , каждое из которых есть аксиома, или определение, или логически ранее доказанная теорема, задача, а последнее есть факт, утверждаемый данной теоремой.

Таким образом, аксиома– тоже факт, с доказательством в один шаг (формулировка аксиомы).

Общие требования к системе аксиом:непротиворечивость, независимость (минимальность), полнота.

Определение 12.3.Система аксиом называется логически или внутренне непротиворечивой, если в рассуждениях не может выполняться одновременно .

Иными словами, чтобы выводы из данной системы аксиом не приводили к возникновению двух взаимно исключающих утверждений S и его отрицания (иначе теория теряет всякую ценность для познания того или иного явления реальной действительности, отраженного в той или иной математической модели).

Так, теорема Пифагора выводится из системы аксиом евклидовой геометрии и поэтому является утверждением этой геометрии. Ее отрицание, т.е. утверждение о том, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов катетов, не принадлежит к числу утверждений геометрии Евклида; оно не может быть выведено из системы аксиом Евклида, т.к. эта система непротиворечива.

Определение 12.4. Система аксиом называется содержательно непротиворечивой, если существует, хотя бы одна ее модель.

Модель – эта такая конкретная реализация основных понятий и отношений между ними, в которой выполняются все аксиомы данной системы.

Критерий непротиворечивости: система аксиом непротиворечива (логически), если она содержательно непротиворечива.

Определение 12.5.Независимость системы аксиом определяется тем, что ни одна из аксиом данной системы не может быть следствием других аксиом этой системы, т.е. невыводима из других аксиом данной системы.

Чтобы доказать независимость какой-либо аксиомы от остальных аксиом системы, достаточно выбросить ее из списка аксиом, заменить отрицанием и доказать непротиворечивость полученной системы аксиом (т.е. построить модель).

В качестве примера здесь уместно привести аксиоматические исследования Н.И. Лобачевского. Он первым в своих работах четко сформулировал и обосновал, что пятый постулат Евклида не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида (т.е. от аксиом абсолютной геометрии). Лобачевский отвергает этот постулат и заменяет его отрицанием – аксиомой Лобачевского. Используя аксиому Лобачевского и все аксиомы Евклида, кроме пятого постулата, Лобачевский развивает свою (гиперболическую) геометрию на плоскости и в пространстве.

Определение 12.6. Если в данной системе аксиом каждая аксиома независима, то и вся система аксиом называется независимой.

Критерий независимости: Аксиома А в системе аксиом не зависит от остальных аксиом, если система аксиом непротиворечива.

Полнота системы аксиом:пусть дана система аксиом . Аксиома D называется расширением системы аксиом , если: а) она не вводит новых отношений; б) аксиома D не зависит от аксиом системы ; в) система аксиом непротиворечива.

Определение 12.7. Система аксиом называется полной, если она не допускает расширения.

Определение 12.8. Две интерпретации (модели) системы аксиом называются изоморфными, если существует взаимно-однозначное соответствие между их элементами, при котором сохраняются все основные отношения.

Критерий полноты:система аксиом полна, если любые ее интерпретации изоморфны (в смысле определения).

Первые сведения о геометрии появились в Индии, далеком Египте, Вавилоне, Китае. Они умели вычислять площадь треугольника, объем усеченной четырехугольной пирамиды и площадь круга. В VII-VI в. до нашей эры геометрия появилась в Древней Греции. Основателем её был Фалес. С его именем связывают доказательство углов равнобедренного треугольника и свойство вертикальных углов. ПИФАГОР- теорема о сумме углов треугольника, теорема Пифагора, пять типов правильных многогранников и обосновал существование несоизмеримых отрезков. Демокрит – терема об объемах пирамиды и конуса. Евдокс – геометрическая теория пропорции. Архимед - правила для вычисления площади поверхности шара. Аристотель- постановка задачи о построении геометрических знаний и решение её в первом приближении. ЕВКЛИД – знаменитые «Начала», давшие систематическое изложение начал геометрии, опубликованные в 13 книгах. Первые 6- планиметрия, 7-9 – арифметика в геометрическом изложении,10- теория несоизмеримых величин, 11-13 основы стереометрии. Каждая книга начиналась с основных понятий постулатов и аксиом.