I книга основных понятий.

1. Точка есть то, что не имеет частей;

2. Линия есть длина без ширины;

3. Границы линии - суть точки;

4. Прямая есть такая линия, одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам;

5. Поверхность есть то, что имеет длину и ширину;

6. Границы поверхности - суть линии;

7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам;

ПОСТУЛАТЫ:

1. От всякой точки до всякой другой точки можно провести прямую;

2. Ограниченную прямую можно продлить в неограниченную;

3. Из любого центра можно провести окружность любого радиуса;

4. Все прямые углы равны;

5. (основной) Если две прямые при пересечении с третьей образуют с одной стороны внутренние односторонние углы, сумма которых меньше , то эти прямые пересекаются при их достаточном продолжении с этой стороны. (

АКСИОМЫ

1. Равные одному и тому же равны между собой ;

2. Если к равным прибавить равные, то получим равные;

3. Если от равных отнимем равные, то получим равные.

4. …….

5. ……

6. ……

7. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

Затем Евклид начинает развивать свою логическую дедуктивную (от общего к частному) систему. Свою геометрию Евклид разделил на две части:

· 1 часть – без использования пятого постулата.

Определение 12.9. Геометрия, построенная на аксиомах Евклида без пятого постулата, называется абсолютной.

В этой геометрической системе содержится конечное число теорем (логических следствий из аксиом и постулатов). В трактовке Евклида их 29.

· 2 часть – добавлен пятый постулат

В этой системе (евклидовой геометрии) количество логических следствий бесконечно.

Недостатки геометрии Евклида: наиболее слабое звено – это определения.

1. Евклид пытается определить исключительно все понятия;

2. Многие определения нечетки, логически неоправданны; ряд определений даётся через неопределенные понятия;

3. Система аксиом неполная. У него нет аксиомы непрерывности (немецкий математик Дедекинд);

4. Постулаты не дают возможности объяснить такие понятии как точка, прямая лежит между двумя её другими точками; две точки плоскости лежат по разным или по одну сторону от прямой;

5. Понятия равенства у Евклида определенно с помощью движения, которые в свою очередь не получило развитие (нет аксиомы движения);

6. Убедительность логики Евклида во многих случаях подкрепляется привычками наших пространственных представлений. А это значит, что «Начала» логически безукоризненного обоснования геометрии не содержат.

На недостатки Евклида указывал уже Архимед (жил на 100-150 лет позднее Евклида). Для того, чтобы сравнивать отрезки, он ввел свою аксиому Архимеда: для любых двух отрезков и существует , такое что .