При умножении числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Вычислительные приемы умножения и деления для чисел первой тысячи и многозначных чисел

1.Устные приемы вычислений умножения и деления чисел в пределах 1000 и многозначных чисел ограничиваются следующими случаями:

1) прием вычислений для случаев вида: 200 * 3; 400 * 3; 800 : 4; 800 : 200). В данных приемах вычислений целые сотни, тысячи рассматриваются как разрядные единицы, что позволяет свести эти случаи к табличному умножению и делению:

200 * 3 = 2сот. * 3 = 6 сот. = 600

800 : 200 = 8 сот. : 2сот. = 4

2) прием вычислений для случаев вида: 70 * 6; 320 : 8; 4800 : 800. В этом случае целые десятки (или сотни) рассматриваются как разрядные единицы, что позволяет свести эти случаи либо к табличному умножению и делению, либо применять к ним приемы устного внетабличного умножения и деления в пределах 100:

70 * 6 = 7 дес. * 6 = 42 дес.

320 : 8 = 32 дес. : 8 = 4 дес.

3) прием вычисления для случаев вида: 840 : 2; 560 : 4; 303 * 2; 180 * 4.В подобных случаях необходимо использовать как знание десятичного состава чисел, так и приемы устного внетабличного умножения и деления в пределах 100:

840 : 2 = 800 : 2 + 40 : 2 = 400 + 20 = 420

303 * 2 = 300 * 2 + 3 * 2 = 600 + 6 = 606

4) приемы умножения и деления на разрядную единицу (на 10, 100, 1000).

2. Вычисления произведения многозначного числа на однозначное или многозначного числа на многозначное требует применения письменных приемов вычислений (письменного алгоритма). Этот алгоритм построен на основе законов сложения и умножения натуральных чисел.

Правило умножения суммы на число:

(а + в + с) * d = а * d + в * d + с * d

При умножении суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

В качестве суммы рассматривается трехзначное (многозначное) число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых. Умножение таким образом представленного многозначного числа на однозначное выполняется в соответствии с правилом умножения суммы на число:

125 * 3 = (100 + 20 + 3 ) * 3 = 100 * 3 + 20 * 3 + 5 * 3 = 300 + 60 + 15 = 375

Переводя данный способ умножения в запись в «столбик», получаем письменный прием (алгоритм) умножения на однозначное число.

Письменный прием умножения на однозначное число:

3

300

375 На первых порах умножение столбиком можно записать подробно, но обычно используется краткая запись, поскольку главным достоинством письменных приемов умножения является краткость записи вычислений.

При устном и письменном умножении многозначного числа на однозначное используется теория – умножение суммы на число. Однако при устном умножении начинаем умножать высшие разряды, а при письменном – низшие.

В учебниках 3-го класса содержится подробное описание процесса умножения «в столбик», пошагово оговаривающее каждое умственное действие по выполнению умножения и сложения получаемых отдельных сумм:

1. Умножаю единицы: 5 * 3 = 15, 15 – это 1 дес и 5 ед.

2. 5 ед. пишу под единицами, 1 дес. запоминаю.

3. Умножаю десятки: 2 дес. * 3 = 6 дес. К 6 дес. прибавляю 1 дес., получаю 7 дес.

4. Умножаю сотни: 1 сот. * 3 = 3 сот.

Читаю ответ: 375.

Для прочного усвоения письменных приемов умножения учащийся должен:

1. Запомнить правильную запись: разряд записывается под соответствующим разрядом.

2. Запомнить правильный порядок выполнения действия: умножение начинаем с младших разрядов (справа налево).

3. Овладеть технологией запоминания и добавления излишних разрядных единиц, получаемых при умножении однозначных чисел, в следующий по старшинству разряд.

Для облегчения (на первых уроках) письменного приема умножения возможно:

1) производить подробную, а не сокращенную запись приема. В этом случае выполнять сложение можно по записям неполных произведений, а не в уме, запоминая излишние разрядные единицы (использование этого приема рекомендуется для детей, плохо считающих в уме).

2) производить запись промежуточных вычислений рядом с примером или на черновике – в этом случае все необходимые для запоминания и добавочного прибавления разрядные единицы будут зафиксированы, и учащийся не будет их «терять».

125 5 ед. * 3 = 15 ед. 15 ед. = 1 дес. + 5 ед.

3 2 дес. * 3 = 6 дес.

375 1 сот. * 3 = 3 сот. 6 дес. + 1 дес = 7 дес.

Письменный прием умножения на двузначное (и многозначное) числоопирается на правило умножения числа на сумму:

а * (в + с + p) = а * в + а * с + а * p

При умножении числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Первый множитель – это число, умножаемое на сумму. В качестве суммы в этом случае рассматривается второй множитель, представляемый в виде разрядной суммы.

Прием письменного умножения на двузначное число можно записать подробно:

329 * 24 = 329 * (20 +4) = 329 * 20 + 329 * 4 = 6580 + 1316 = 7896

Или кратко (в столбик):

24

658

Число 1316 называют первым неполным произведением, число 658 называют вторым неполным произведением.

Аналогично производится вычисление и запись умножения на трехзначное число.

Записи последних нулей в неполных произведениях при вычислениях в столбик опускаются для экономичности записи, однако они подразумеваются, что показано сдвигом влево на один разряд каждого следующего неполного произведения.

В качестве особых случаеврассматривают случаи умножения целых чисел вида: 35 * 20;, 532 * 300; 2540 * 400.

В основе умножения в этих случаях лежит правило умножения числа на произведение (сочетательное свойство умножения).

35 * 20 = 35 * (2 * 10) = ( 35 * 2) * 10 = 70 * 10 = 700

Письменное умножение чисел с нулями рассматривается отдельно в связи с тем, что при записи таких вычислений в столбик происходит нарушение общего правила записи чисел при письменном умножении.

К сложным случаям письменного умножения относят все случаи вычислений, в которых происходит либо нарушение способа записи, либо нарушение порядка выполнения алгоритма. Например:

7050 340 421

7 24 305

49350 136 2105

68 1263

8160 128405

В последнем случае подразумевается, что умножение первого множителя на 0 десятков дает нулевой результат во втором неполном произведении. Поэтому для экономичности записи его опускают, подразумевая его « по умолчанию». В связи с этим при умножении первого множителя на число сотен второе (фактически – третье) неполное произведение записывают со сдвигом влево на два разряда, поскольку первая справа значащая цифра этого неполного произведения будет цифра сотен, поэтому ее следует записать в разряд сотен.

Для того чтобы учащийся понял смысл многочисленных действий «по умолчанию», при знакомстве с этими трудными случаям следует сначала производить полные записи и выполнять все, предписанные алгоритмом действия, а не просто указывать, что и куда следует сдвигать. Затем, сравнивая два вида записи, необходимо довести до сознания ученика, какие элементы и этапы полного алгоритма и полной записи можно опустить, и что при этом произойдет с формой записи.

3. Вычисления результатов деления многозначного числа на однозначное или многозначного числа на многозначное требует применения письменных приемов вычислений (письменного алгоритма деления). Этот алгоритм построен на основе правил деления суммы на число, деления числа на произведение и приемов нахождения результатов деления с остатком.