Визначення нормальних напружень при згинанні

При прямому поперечному згинанні у поперечному перерізі балки виникають два внутрішніх зусилля Q та М; залежності між цим зусиллям та напруженнями у поперечному перерізі балки такі:

.

Отже, в поперечних перерізах балки при згинанні виникають як дотичні напруження так і нормальні напруження. Дотичні напруження при згинанні балок у переважній більшості випадків не враховуються. Особливі випадки коли величиною дотичних напружень знехтувати не можливо, тут не розглядаються.

Статична сторона задачі

Для виводу формул, що визначають нормальні напруження, які виникають в поперечному перерізі балки, розглянемо балку, що знаходиться в умовах чистого згину (рис. 6.13), тобто Q = 0 і дотичні напруження відсутні. Двома нескінченно близькими поперечними перерізами виділимо з цієї балки елемент довжиною dx (рис. 6.13,а).

Переріз балки прямокутник. В площині перерізу проведемо координатні осі (рис.6.13,б).

Приймаємо, що вісь збігається з силовою лінією (лінію перетину силової площини з площиною перерізу); вісь z проведемо перпендикулярно осі у ; вісь х направлена перпендикулярно до площини перерізу. У перерізі виділимо елемент з площею dF (точка А), його координати – у, z. При чистому згинанні (Q=0, ) на елемент діє зусилля dN = sdF. Тоді з шести інтегральних рівнянь можна використати три:

Але цих трьох рівнянь статики не достатньо для визначення s , тому що невідомий закон розподілу σ по перерізу та розташування осі Z.

Геометрична сторона задачі

Розглянемо картину деформацій цієї балки. Якщо на еластичну балку нанести сітку з ліній паралельних і перпендикулярних осей, то при чистому згинанні прямокутна сітка деформується так що:

1) поздовжні лінії викривлюються по дузі кола;

2) поперечні лінії лишаються прямими і нахиляються одна до одної;

3) поперечні лінії з поздовжніми перетинаються під прямим кутом (рис. 6.13,в).

На основі такої картини можна вважати, що при чистому згині поперечні перерізи лишаються плоскими і повертаються, лишаючись перпендикулярними до осі балки , тобто при чистому згинанні справедлива гіпотеза плоских перерізів.

Можна вважати, що відстань а між поперечними перерізами змінюється а₁ < a, a₂ > a , а саме верхні волокна скорочуються, а нижні – витягуються. Очевидно, що серед них є такі волокна які не змінюють своєї довжини. Сукупність таких волокон називають нейтральним шаром (рис. 6.13). Лінія перетину нейтрального шару із площиною поперечного перерізу балки називається нейтральною лінією Будемо вважати вісь z нейтральною віссю. Беручи до уваги картину деформацій, зобразимо деформований стан елемента dx ( рис. 6.14).

Виділимо елемент балки двома суміжними поперечними перерізами m – m та n – n, які розташовані один від одного на відстані dx.

Розглянемо тепер цей елемент після деформування :

Н.С.

- радіус кривизни.

Фізична сторона задачі.

На елементарній площадці дотичних напружень немає. Волокна матеріалу не тиснуть одне на одне. Таким чином волокно a b перебуває в лінійному напруженому стані:

;

/ \

дотичних волокна не

напружень тиснуть одне

нема на одне

Синтез:

- закон Гука при згині; (добуток) – називається жорсткістю перерізу при згині

- формула Нав’є.

Формула Нав’є показує, що при згині нормальні напруження розподіляються за лінійним законом.

- Показує, що центр ваги лежить на осі Z.

- Показує, що вісі Z та y головні центральні. Тобто вісь Z нейтральна лінія перерізу проходить через центр ваги, а осі y та z – головні центральні осі перерізу.

Тобто вісь z – нейтральна лінія перелізу проходить через центр вала, а вісі у та z – головні центральні вісі перелізу. Формула Нав’є показує, що незалежно від формі та розмірів перерізу балки, напруження в точках нейтральної лінії завжди дорівнюють 0. Величина змінюється лінійно по товщині балки.

- осьовий момент опору

де

осьові моменти опору

Якщо переріз балки не має горизонтальної осі симетрії, то нейтральна лінія зміщена відносно середини висоти перерізу, але знову

; де

Для простіших перерізів:

Прямокутник:

Wz = 2Iz/h = bh³2/12h = bh²/6(6-5)

Wy = Iy2/b = hb²/6

Коло:

Wy = Wz = 2I_ocн/d = d⁴/64d = (6-6)

Кільце:

Wz = Wy = D³ (1-α⁴ )/32, (6-7)

де α = d/D – відношення внутрішнього до зовнішнього

діаметра кільця.

Для прямокутного перерізу

Для кругового

Для кільцевого

Для прокатних профілів значення Wz та Wy вказані у таблицях

Якщо переріз складний то визначаємо . Далі знаходимо потім .

Затрати матеріалу пропорційна площі поперечного перерізу F. Отже чим більше відношення W/F, тим більший згинальний момент витримує переріз заданою площею.

тобто переріз має бути розташованим так, щоб осьовий момент інерції був найбільший.

Умова міцності для нормальних напружень:

Тепер можна записати умову міцності для нормальних напружень при згинанні:

s_max = M_max/W_z ≤ [s] (6-8)

Умова міцності при згинанні дозволяє виконувати три типи розрахунків: перевірочний, проектувальний та визначення допустимого навантаження. Значення [s] береться те ж, що і при розтяганні – стисканні; М_max – у небезпечному перерізі за епюрою згинального моменту.

Якщо розглядаються балки з пластичного матеріалу, не має різниці для яких волокон записати умову міцності – стиснутих або розтягнених, для пластичних матеріалів [s₊] = [s _-] .