Лекция 13. Комбинаторные задачи и их решение

План:

1. Правила суммы и произведения

2. Размещения, перестановки с повторениями и без повторений. Сочетания без повторений. Число подмножеств конечного множества. Бином Ньютона.

3. Выводы

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными.

С теоретико-множественной точки зрения решение комбинаторных задач связано с выбором из некоторого множества подмножеств, обладающих определенными свойствами, и упорядочением множеств. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой

Комбинаторика возникла в ХVI веке и первоначально в ней рассматривались задачи, связанные с азартными играми. В процессе изучения таких задач были выработаны некоторые общие подходы к их решению, получены формулы для подсчета числа различных комбинаций.

В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математической науки. Ее методы широко используются для решения практических и теоретических задач. Установлены связи комбинаторики с другими разделами математики.

В начальном обучении математике роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы. В связи с этим учителю начальных классов необходимы определенные умения и навыки решения комбинаторных задач. Прежде всего, он должен, решая несложные комбинаторные задачи, уметь грамотно осуществлять перебор возможных вариантов и при этом быть уверенным в том, что перебор осуществлен правильно. Учителю надо знать общие правила комбинаторики (в частности, правила суммы и произведения), некоторые виды комбинаций, число которых может быть подсчитано с помощью формул. Поэтому предложенный в данном пособии путь освоения способов решения комбинаторных задач состоит из нескольких этапов: сначала они решаются методом перебора и для записи возможных вариантов используются различные способы; затем появляются правила суммы и произведения и процесс решения комбинаторных задач несколько формализуется, и, наконец, рассматриваются некоторые виды комбинаций, а их число подсчитывается по формулам.