Способы задания множеств

Понятие множества и элемента множества

В математике часто рассматриваются те или иные группы объектов как единое целое: натуральные числа, треугольники, квадраты и др. Все эти различные совокупности называют множествами.

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах: множество гласных букв русского языка, множество натуральных чисел, множество треугольников.

Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обыденной речи, где его связывают с большим числом предметов. В математике этого не требуется. Здесь можно рассматривать множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, …, Z. Множество, не содержащее ни одного объекта, называется пустыми обозначается символом ∅.

Объекты, из которых образовано множество, называются элементами.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, c,…, z.

Предложение «Объект а принадлежит множеству А»можно записать, используя символы: а ∈ А». Предложение «Объект а не принадлежит множеству А» можно записать так: а ∉ А.

Например, если А – множество однозначных чисел, то утверждение «Число 3 – однозначное» можно записать в таком виде: 3 ∈ А. Запись 12 ∉ А означает, что «Число 12 не является однозначным», или «Число 12 не принадлежит множеству А», или «Множество А не содержит числа 12».

В геометрии точки обозначают заглавными буквами. «Точка Р лежит на отрезке АВ» можно записать: Р ∉ АВ или Р ∉ Х.

Множества бывают конечные и бесконечные. Конечные: множество дней недели, множество месяцев в году. Бесконечные: множество точек на прямой, множество натуральных чисел.

Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Способы задания множеств

Понятие множества мы используем без определения. Но как узнать, является та или иная совокупность множеством или не является?

Считают, что множество определяется своими элементами, т.е. множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

1. Множество можно задать, перечислив все его элементы. Запись: А = {3, 4, 5, 6.

2. Если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. В таких случаях указывают характеристическое свойство его элементов.

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Например: А = {х׀ х – двузначные числа}

Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество квадратов можно задать как множество прямоугольников с равными соседними сторонами и как множество ромбов с прямыми углами.

Очень важно умение переходить от одного способа задания множества к другому.