Плоскость, линии и точки в плоскости.

Проецирование элементов, определяющих плоскость.

При ортогональном проецировании любая плоскость может быть задана на чертеже проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой ; проекциями прямой и точки, не лежащей на данной прямой; проекциями двух параллельных прямых; двух пересекающихся прямых; проекциями любой плоской фигуры. Плоскость может быть задана следами - линиями пересечения плоскости с плоскостями проекций.

В2 ·

А2 В2

· С 2 А2 С2·

·

X

·

· А1 С1

· С 1 В1

А 1 K2 a 2

В1 ·

В2 D2 b 2

А2 С2

X

b 1

A 1

C1

B1 D1 K 1

В 2a 1

А2

С 2 P 2

X P x

В1

А1

P 1

С1

Плоскости бывают общего положения и частного. Выше на рисунках приведены примеры плоскостей общего положения.

Плоскость общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Плоскость частного положения параллельна или перпендикулярна хотябы к одной из плоскостей проекций . Плоскости частного положения делятся на две группы :

плоскости уровня - перпендикулярные двум плоскостям проекций и параллельные одной из них ;

проецирующие - перпендикулярные к одной плоскости проекций и наклонные к двум другим.

Плоскости уровня могут находиться в трех положениях :

1) параллельна горизонтальной плоскости проекций и перпендикулярна фронтальной и профильной;

А2 В2 С2

Х

С1

А1

В1

2) параллельна фронтальной плоскости и перпендикулярна горизонтальной и профильной; В2

А2 С2

Х

А1 В1 С1

3) параллельна профильной плоскости проекций и перпендикулярна горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций:

А2 А3

В2 В3

С2

С3

С1

А1

В1

Прецирующие плоскости также могут находиться в трех положениях :

1) перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций и наклона к фронтальной и профильной плоскостям:

В2 В3

1)В22)В2 3)

С2 А2 b А3

А2 А2 a

С2 a С 2 Сз

В1

А1 b В1

А1 А1

В1

С1

С1 С1

2) перпендикулярна фронтальной плоскости проекций и наклона к горизонтальной и профильной плоскостям.

3) перпендикулярна профильной плоскости проекций и наклона к горизонтальной и фронтальной плоскостям.

Углы между проецирующей плоскостью и не перпендикулярными ей плоскостями проекций проецируются в натуральную величину на ту плоскость проекций , которой перпендикулярна данная плоскость.

Плоскости уровня и проектирующиеся плоскости характерны тем, что проекции всех точек и линий лежащих в этих плоскостях , будут лежать на проекции этой плоскости, которая изображается прямой линией.

Рассмотрим ОСОБЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ.

Среди линий принадлежащих плоскости можно выделить линии параллельные плоскостям проекций : горизонтали плоскости, фронтали плоскости, профильные прямые плоскости. К особым относится и линия наклона, которая определяет угол наклона плоскости к той или иной плоскости проекций.

Линию наклона к плоскости П1 принято называть линией ската. Линия наклона к плоскости П2 перпендикулярна к фронталям плоскости, линия ската перпендикулярна к горизонталям плоскости, а линия наклона к плоскости П3 перпендикулярна к профильным прямым плоскости.

Условием принадлежности прямой плоскости будет:

если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки данной прямой будут лежать в этой плоскости.

Т.е., чтобы начертить прямую лежащую в плоскости, достаточно найти две общие точки.

Проведем горизонталь в плоскости заданной отсеком:

Пространственный алгоритм: é h Ì D ABC )

Мы знаем, что фронтальная проекция горизонтали параллельна оси Х, вместе с тем горизонталь принадлежит плоскости заданной треугольником АВС.

Проведем через точку А 2 линию параллельную оси Х и отметим пересечение этой линии со стороной В2С2 точкой 1 2 .

( ГА: é h 2 Ç D А2В2С2) ; h 2 êê C) (Построить фронтальную проекцию горизонтали пересекающую треугольник А2В2С2; фронтальная проекция горизонтали параллельна оси Х).

Проведем линию проекционной связи для нахождения проекции 1 1.

é11Ì êB1С1÷ Ù (12 11) (Построить точку 11 принадлежащую отрезку В1С1 и линии проекционной связи 1 21 1.

В 2

1 2

А2 h2

С 2

Х

А 1 В1

h1

11

С 1

é (А1 11) É А1 Ù 11

(Построить линию А1 11 включающую точки А1 и 11).

Эта линия будет горизонтальной проекцией горизонтали.

Если бы плоскость была бы задана при помощи трех

точек не лежащих на одной прямой и надо было бы провести горизонталь плоскости, задача мало бы отличалась от уже рассмотренной. Аналогично, если плоскость задана двумя пересекающимися прямыми. Любые две стороны нашего треугольника АВС можно рассматривать как пересекающиеся прямые.

Рассмотрим случай построения фронтали плоскости, если плоскость

задана двумя параллельными прямыми.

Воспользуемся тем, что нам известно направление горизонтальной

проекции фронтали. Возьмем произвольную точку 11 на прямой a1и

проведем линию параллельно оси Х до пересечения в точке21 с прямой b1.

Воспользовавшись линиями проекционной связи найдем точки 12 и 22

через которые проходит фронтальная проекция фронтали и проведем ее.

22

a2 f 2

12

b2

Х

b 1

11 f 1 21

a 1

Точка в плоскости.

Точка принадлежит плоскости, если лежит на прямой принадлежащей плоскости.

Пусть плоскость задана пересекающимися прямыми а и b.

Имеется горизонтальная проекция точки А1 необходимо построить А2.

a 2

12

22

· A2

B 2

B 1

*А1

A1 1 1 21

Через горизонтальную проекцию точкиа1 проведем произвольную прямую пересекающую горизонтальные проекции линий задающих плоскость

в точках 1 1 и 2 1. Построим фронтальную проекцию этой линии и на ней найдем точку а 2.

Подумайте самостоятельно, как бы мы решали аналогичную задачу, если бы были заданы обе проекции точки А и требовалось определить принадлежит ли точка А плоскости заданной пересекающимися прямыми.

Дома самостоятельно, на листе в клетку в тетради для конспектов построить эллипс. Большую и малые оси задать произвольно. Прошу не строить овал вместо эллипса.