ЛЕКЦИЯ 4. Принципы составления математических моделей динамики

1. Основы динамики технологических процессов

2. Динамика материальных потоков. Примеры.

1.Основы динамики технологических процессов

Анализ технологических процессов показывает, что выходная переменная имеет сложную зависимость от параметров и времени. При этом детерминированные факторы определяют величину и характер изменения математического ожидания выходной переменной, тогда как неуправляемые и неконтролируемые факторы- величину и характер случайных отклонений выходной переменной от величины математического ожидания.

Построение любой математической модели начинают с физического, описания объекта моделирования. При этом выделяют "элементарные" процессы, протекающие в объекте моделирования, которые подлежат отра-жению в модели, и формулируют основные допущения, иринимаемые при их описании. В свою очередь, перечень учитываемых "элементарных" про-цессов определяет совокупность явлений, описывающих объект, которые включают в математическую модель. В цанном случае под "элементарным" процессом понимается физико-химический процесс, относящийся к опре-деленному классу явлений, например массообмен, теплопередача и т.д. Здесь следует отметить, что название "элементарные" процессы отнюдь не означает, что данные процессы являются простейшими и оиисываются не-сложными уравнениями. Так, массообмен является предметом целой тео-рии, до настоящего времеки еще далекой до полного завершения. Это название означает лишь, что такие процессы являются составляюшими много более сложного всего химико-технологического процесса.

Обычно при математическом моделировании объектов химической технологии принимаются во внимание следуюшие "элементарные" про-цессы: 1) движение потоков фаз; 2) массообмен между фазами; 3) тепло-передача; 4) изменение агрегатного состояния (испарение, конденсация, растворение и т.д.); 5) химические превращения.

Полнота математического описания "элементарных" проиессов в модели зависит от их роли во всем химико-технологическом процессе, степени изученности, глубины взаимосвязи "элементарных" процессов в объекте и желаемой точности всего описатгая. Взаймосвязь "элементар-ных" процессов может быть чрезвычайно сложной. Поэтому на практике часто делают различные допущения относительно характера связей, что позволяет избежать необходимости введения в модель недостаточно изу-ченных зависимостей и, следовательно, излишнего усложнения описания.

Применение блочного принципа построения математических моделей, который, в свою очередь, основан на системном подходе, позволяет во многих случаях также принципиально решить проблему масштабирова-ния процессов. С точки зрения математического моделирования масштабный переход есть не что иное, как деформация математической модели при изменении геометрических размеров, характеризующих аппаратурное оформление процесса. При использовании блочного принципа построения математической модели влияние геометрических размеров на свойства процесса отражается лишь в одной подсистеме (блоке) - блоке "гидро-динамика". Поэтому при наличии достаточно корректного в качественном и количественном отношении математического описания этого блока ста-новится возможным осуществить масштабный переход.

Принципиально каждый блок математической модели может иметь различную ступень детализации математического описания. Важно лишь, чтобы входные и выходные переменные всех блоков модели находились во взаимном соотяетствии, что обеспечит получение замкнутой системы уравнешй математической модели процесса з целом. Что касается сос-тава внутренних переменных блоков, то здесь существует достаточно боль-шая свобода выбора. В идеале математическое описание каждого блока цолжно включать уравнения, параметрами которых являются только физи-ко-химические свойства веществ. Однако получить такое фундаментальное описание отдельных блоков при недостаточной исследованности отдельных явлений во многих случаях в настоящее время не представляется возмож-ным. Это связано, как правило, с чрезвычайным усложнением математичес-кого описания блока, что само по себе приводит к резкому усложнению ма-тематической модели процесса в целом и, кроме того, может вызвать опре-деленные вычислительные трудности. Поэтому при практическом использо-вании блочного принципа в математическомописании каждого блока на том или ином уровне его детализации приходится применять эмпирические соотношения.

2. Динамика материальных потоков. Примеры Поведение потоков в реалных аппаратах настолько сложно, что в настоящее время дать строгое математическое опжание их в большинстве случаев не прсдставляется возможным. В то же время изв&пһо.что струк-тура потоков оказыьает сущеілвенное влияние на эффекхивность химико-технологических процессов, поэтому ее леобходимо учитывать при моце = лировании процессов. При этом математические модели структуры пото-ков являются осңовой, на которой строится математическое описзние химико-технологического процесса. Как уже отмечалось, точное описание реальных потоков (например, с помощью уравнения Навье—Стокса) при-водит к чрезвычайно трудным для решения задачам. Поэтому разработан-ные к настоящему времени модели структуры потоков в аппаратах яв-ляются достаточно простыми и носят полуэмпирический характер, Тем не менее уже они позволяют получать модели, достаточно точно отражающие реальный физический процесс (модели, адекватные объекту).

При проведениихимико-технологических процессов часто важно знать степень полноты их завершения, что, в свою очередь, зависит от распреде-ления по времени пребывания частиц потока в аппарате, поскольку некото-рые доли потока могут задерживаться в аппарате, а другие, наоборот, про-скакивать, что непосредственно связано с временем контакта и диффузией.

Распределение времени пребывания частиц потока в аппарате (РВП) имеет стохастическую природу и оценивается статистическим распреде-лением.

Наиболее существенными источниками неравномерности распределе-ния элементов потока во времени пребывания в промышленных аппаратах являются: 1) неравномерность профиля скоростей системы; 2) турбулизация потоков; 3) наличие застойных областей в потоке; 4) каналообразование, байпасные и перекрестные токи в системе; 5) температурные градиенты движущихся сред; 6) тепло- и массообмен между фазами и т.п.

Может оказаться, что истинное время пребывания в аппарате частиц потока недостаточно для осуществления процесса диффузии, а от этого зависит эффективностъ всего диффузионного процесса в целом. Поэтому важным является учет реальной структуры потоков фаз в аппарате (а, сле-довательно, по времени пребывания) с помощью модельных представлений о внутренней структуре потоков.

Для процессов массопередачи описание структуры потоков имеет еще и тот смысл, что позволяет установить перемещение и распределение веществ в этих потоках. Поэтому все гидродинамические модели потоков записываются преимущественно в виде уравнений, определяющих изме-нение концентрации всщества в потоке.

Далее будут рассмотрены экспериментальные методы исследования структуры потоков в реальных аппаратах, наиболее распространенные математические модели структуры потоков и методы определения пара-метров моделей