ЛЕКЦИЯ 3. Математические модели объектов идентификации.

1. Основные термины в математическом моделировании. Множество моделей, структуры моделей. Первичная классификация математических моделей.

2. Непрерывные и дискретные модели. Линейные и нелинейные модели. Статические и динамические модели. Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами.

М а т е м а т и ч е с к о е обеспечение имитационной системы включает в себя совокупность математических соотношений, описывающих поведение реального объекта, совокупность алгоритмов, обеспечивающих как подготовку, так и работу с моделью. Сюда могут быть отнесены алгоритмы ввода исходных данных, имитации, вывода, обработки.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; б) численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными системы S. Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми. Поэтому, желая использовать аналитический метод, в этом случае идут на существенное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Такое исследование на упрощенной модели аналитическим методом помогает получить ориентировочные результаты для определения более точных оценок другими методами. Численный метод позволяет исследовать по сравнению с аналитическим методом более широкий класс систем, но при этом полученные решения носят честный характер. Численный метод особенно эффективен при использовании ЭВМ.

В отдельных случаях исследования системы могут удовлетворить и те выводы, которые можно сделать при использовании качественного метода анализа математической модели. Такие качественные методы широко используются, например, в теории автоматического управления для оценки эффективности различных вариантов систем управления.

В настоящее время распространены методы машинной реализации исследования характеристик процесса функционирования больших систем. Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм.

В зависимости от конкретной реализации процесса и его аппаратур-ного оформления все многообразие химико-технологических процессов можно разделить на четыре класса исходя из временнбго и пространствен-ного признаков: процессы, переменные во времени (нестационарные), и процессы, не меняющиеся во времени (стационарные) ; процессы,в ходе ко-торых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без простран-ственного изменения параметров. Так как математические модели являют-ся отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы, а именно: 1) модели, неизменные во времени, — статические модели; 2) модели, переменные во времени, — динамические модели; 3) мо-дели, неизменные в пространстве, — модели с сосредоточенными параметрами; 4) модели, изменяющиеся в пространстве, — модели с распределенными параметрами. Рассмотрим перечисленные классы моделей.

Модели с сосредоточенными параметрами.Для данного класса моделей характерно постоянство переменных в пространстве. Математическое описание включает алгебраические уравнения либо дифференциальные уравнения первого порядка для нестационарных процессов. Примером объекта, оиисываемого данным классом моделей, может служить аппарат с идеальным (полным) перемешиванием потока. Скорость мешалки такова, что концентрация во всех точках аппарата одинакова.

Модели с распределенными параметрами. Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве, или если указанные изменения происходят только в пространстве, то модели описывающие такие процессы, называются моделями с распределенными параметрами. Их математическое описание включает обычно дифференцдальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные случас стационарных процессов с одной пространственной переменной. Примером процесса, описываемого такими моделями, служит трубчатый аппарат с болыним отношением длины к диаметру и значительной скоростью движения реагентов (рис. 1.3).

Статические модели. Статические модели отражают работу объекта в стационарных условиях, т.е. когда параметры процесса не меняются во времени. Соответственно математическое описание в статических моделях не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравне-ний либо дифференциальных уравнений в случае объектов с распределен-ными параметрами. Примером объекта, описываемого статической мо-делью, служит апнарат гюлного смешения объемом V в установившемся режимс работы, в который непрерывно подаются реагеиты Л и Вв количестве ь_А, ю_в (и_А + и_в — и) и отводится продукт реакции Р.

Динамические модели. Динамическая модель отражает изменение объекта во времени. Математическое описание таких моделей обязательно включает производную по времени. Часто динамическую модель объекта строят в видс передаточных функций, связывающих входные и выходные переменныс (ирсдсгавлсние динамических моделей в виде передаточных функций особснно удобно для целей управления объектом). Примером динамической модели можст елужить модель рассмотренного выше аппара-та полного смешения, но работающего в неустановившемся режиме.

Математическая модель является системой уравнений математического описания, отражающей сущность протекающих в объекте явлений, для которой определен алгоритм решения, реализованный в форме моделирующей программы. Согласно этому определению математическая модель должна рассматриваться в совокупности трех ее аспектов: смыслового, аналитического и вычислительного.

Смысловой аспект представляет собой физическое описание природы моделируемого объекта.

Аналитический аспект является математическим описанием процесса в виде некоторой системы уравнений, отражающей протекающие в объекте явления и функциональные связи между ними.

Наконец, вычислительный аспект есть метод и алгоритм решения системы уравнений математического описания,. реализованные как модели-рующая программа на одном из языков программирования.

Представление математической модели процесса в виде совокупности подсистем (блоков) позволяет представить общее математическое описание как совокупность математических описаний отдельных блоков.

Применение блочного принципа построения математических моделей, который, в свою очередь, основан на системном подходе, позволяет во многих случаях также принципиально решить проблему масштабирования процессов. С точки зрения математического моделирования масштабный переход есть не что иное, как деформация математической модели при изменении геометрических размеров, характеризующих аппаратурное оформление процесса. При использовании блочного принципа построения математической модели влияние геометрических размеров на свойства процесса отражается лишь в одной подсистеме (блоке) - блоке "гидро-динамика". Поэтому при наличии достаточно корректного в качественном и количественном отношении математического описания этого блока ста-новится возможным осуществить масштабный переход.

Принципиально каждый блок математической модели может иметь различную ступень цетализации математического описания. Важно лишь, чтобы входные и выходные переменные всех блоков модели находились во взаимном соответствии, что обеспечит получение замкнутой системы уравнений математической модели процесса в целом. Что касается состава внутренних переменных блоков, то здесь существует достаточно большая свобода выбора. В идеале математическое описание каждого блока должно включать уравнения, параметрами которых являются только физико-химические свойства веществ. Однако получить такое фундаментальное описание отдельных блоков при недостаточной исследованности отдельных явлений во многих случаях в настоящее время не представляется возмож-ным. Это связано, как правило, с чрезвычайным усложнением математичес-кого описания блока, что само по себе приводит к резкому усложнению ма-тематической модели процесса в целом и, кроме того, может вызвать опре-деленные вычислительные трудности. Поэтому при практическом использовании блочного принципа в математическомописании каждого блока на том или ином уровне его детализации приходится применять эмпирические соотношения.