НЕЛІНІЙНІ ЕКОНОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ.

У реальних економічних умовах залежність між змінними може адекватно представлятися, як правило, у нелінійній формі. Ця залежність описується формулою

де — нелінійна функція аргумента , — випадковий чинник.

Відповідна економетрична модель має вид:

Вид економетричної моделі вибирається на основі графічного зображення у системі координат ( , ) статистичної інформації (побудови діаграми розсіювання).

Розглянемо найважливіші нелінійні економетричні моделі.

Гіперболічна (зворотна) залежність має вид

Вона зводиться до лінійної заміною . Одержимо

Перевірка моделі на адекватність та побудова прогнозу здійснюється, як і для лінійної моделі, з урахуванням розглянутої заміни змінної .

Задача 5.1. Використати гіперболічну модель для дослідження залежності собівартості (гр.од./шт.) від кількості виготовленої продукції (шт.). Наведена статистична інформація для показників і :

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Потрібно знайти статистичні оцінки параметрів лінійного рівняння регресії.

¡ Статистичні оцінки , параметрів та гіперболічного рівняння регресії, із врахуванням заміни , задовольняють системі нормальних рівнянь (2.12):

Для знаходження коефіцієнтів цієї системи складемо розрахункову табл. 5.1.

Таблиця 5.1


1
2	0,5	0,25	18,5
3	0,33	0,11	11,33
4	0,25	0,06	5,25
5	0,2	0,04	5,8
6	0,17	0,03	4,5
7	0,14	0,02	3,57
8	0,13	0,02
9	0,11	0,01	2,56
10	0,1	0,01	2,2
	2,93	1,55	96,71

Використовуючи нижній рядок табл. 5.1, отримаємо (обсяг вибірки ):

; ;

Розв’язок цієї системи рівнянь згідно із формулами (2.13):

Отже, емпіричне рівняння регресії має такий вигляд:

Для знаходження та оцінки значущості коефіцієнтів регресії та , точкової оцінки дисперсії збурень, вибіркового коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та побудови для них довірчих інтервалів можна використати розглянуті в §2 методи дослідження лінійної моделі парної регресії. При цьому необхідно здійснити потрібну заміну переходу від нелінійної моделі до лінійної. ¥

Степенева (мультиплікативна) залежність має наступний вид

, , .

Її графік зображено на малюнку 5.1. Степенева залежність використовується для моделювання ситуацій, в яких ріст витрат деякого ресурсу обумовлює необмежене збільшення випуску .

Малюнок 5.1.

Вона зводиться до лінійної моделі логарифмуванням з довільною основою, наприклад, . Тоді отримаємо співвідношення

Застосуємо такі заміни:

, , .

Отримаємо рівняння

Експоненціальна (показникова) модель записується так:

, , , .

Для одержання лінійної залежності застосуємо логарифмування. Тоді

Здійснивши заміну змінних , , , отримаємо

Криві з границею росту і точкою перегину часто використовуються для статистичного аналізу попиту на деякі нові товари. Такою кривою є, наприклад, крива Джонсона:

, , .