Поняття про класичні та узагальнені розв’язки крайових задач

Розглянуті крайові задачі характеризуються тим, що їх розв’язки повинні бути достатньо гладкими і задовольняти рівняння в кожній точці області завдання цього рівняння. Такі розв’язки прийнято називати класичними, а постановку відповідної крайової задачі – класичною постановкою. Класичні постановки накладають досить жорсткі вимоги стосовно гладкості даних та розв’язків, наприклад, для розглянутих крайових задач, класичний розв’язок повинен бути двічі неперервно диференційованих в області задання. Однак, на практиці для цілого ряду важливих випадків вхідні дані можуть мати особливості або як прийнято казати бути сингулярними. Тому в таких випадках класичних постановок задач може бути недостатньо. Для того, щоб здійснити постановки таких задач доводиться відмовлятися (частково або повністю) від вимог гладкості розв’язку в області. Дана проблема вирішується шляхом введення поняття так званих узагальнених розв’язків, які базуються на понятті узагальнених функцій.

Узагальнена функція є узагальненням класичного поняття функції. Це узагальнення, з однієї сторони, дає можливість виразити в математичній формі такі ідеалізовані поняття, як густина матеріальної точки, густина заряду, інтенсивність миттєвого точкового джерела і т.д. З іншого боку, в понятті узагальненої функції знаходить відображення той факт, що реально неможливо, наприклад, виміряти густину речовини в точці, а можна виміряти лише середню густину в достатньо малому околі цієї точки. Грубо узагальнюючи, можна сказати, що узагальнена функція визначається своїми “середніми значеннями” в околі точки.

Математично строго узагальнена функція визначається як довільний лінійний неперервний функціонал на деякому просторі основних функцій, тобто узагальнена функція ставить у відповідність деякій “класичній” функції, в загальному випадку, комплексне число. Прикладом узагальненої функції може бути добре відома - функція Дірака.

Наведемо приклад постановки крайової задачі, що описує теплові процеси. Отже, визначити диференціальне рівняння для обчислення температурного поля та поставити початкову і крайові умови для поданої нижче задачі (див. рис. 4.1). Задано двовимірну область W (АВСД), температуру на границях АВ, АД та ДС (границя ВС є теплоізольованою), джерело тепла розміщене в центрі області і підтримується при постійній температурі 100 °С, в усіх внутрішніх точках області та на границі ВС в початковий момент часу температура рівна нулю ( ), крок рівномірний, ( , ).

Рис.4.1. Приклад області моделюванн крайової задачі

Розв’язання задачі. Область моделювання наведено на рис.4.1. Це є двовимірна область у формі прямокутника ABCD, що залежить від двох просторових координат, а саме: і . Розподіл температури в області описується диференціальним рівнянням теплопровідності (Фур’є):

, (4.29)

де - температура; - час; і - просторові координати, а a - коефіцієнт температуропровідності.

Для завершення математичної формалізаціїт задачі до рівняння (4.29) необхідно додати початкову та крайові умови.

Початкова умова має наступну форму:

, (4.30)

а краєві умови:

°C, де ; (4.31)

°C, де ;

°C, де ;

°C.

при , .

Сформульована крайова задача (4.29 – 4.31) дає змогу провести аналіз перехідного процесу. При нехтуванні перехідним процесом можна скористатися стаціонарним рівнянням наступного виду з крайовими умовами (4.31).