Вероятностное представление случайных величин и процессов

В теории сигналов исследуемый случайный процесс представляют бесконечным множеством некоторых временных функций. Рассмотрим (для наглядности низкочастотный) случайный процесс, состоящий из множества случайных сигналов X₁(t), X₂(t), ..., X_k(t), ... , называемых реализациями случайного процесса (рис. 4.2), и аналитически описываемый некоторой обобщающей его случайной функцией X(t). Совокупность всех реализаций случайного процесса называют ансамблем (рис. 4.2, а). Ансамбль реализаций — математическая абстракция, модель рассматриваемого процесса, но конкретные реализации (см., например, k-ю реализацию на рис. 4.2, б), используемые на практике, представляют физические объекты или явления и входят в ансамбль как его неотъемлемая часть. Типичными примерами случайных процессов в радиотехнике являются тепловые шумы в пассивных и активных элементах, действием которых сопровождается работа

Рис. 4.2. Реализации случайного процесса:

а — ансамбль; б — k-я реализация

Отметим на рис. 4.2 некоторый момент времени t = t₁. Значения, которые могут принимать конкретные реализации x₁(t), x₂(t), ..., x_k(t) всего ансамбля в заданный момент времени t₁, образуют совокупность случайных величин x₁(t₁), x₂(t₁), ..., x_k(t₁), которую обозначим случайной величиной X(t₁). Эту величину X(t₁), отражающую совокупность всех возможных значений реализаций случайного процесса X(t₁) в момент времени t₁, называют сечением случайного процесса. Случайная величина X(t₁) может иметь любые заранее неизвестные значения в некотором интервале изменения амплитуд.

Одной из важных одномерных характеристик случайной величины X(t₁) является интегральная функция распределения (проще, функция распределения) или функция распределения вероятности (cumulative distribution function, CDF) F(x). Численно эта функция определяется как вероятность того, что все значения случайной величины X(t₁) не превышают некоторого заданного уровня х:

(4.1)

где Р — символ, отражающий вероятность.

Основные свойства интегральной функции распределения вероятности:

• для случайной величины X(t₁), имеющей любые вещественные значения, функцию распределения определяют на интервале 0 <F(x) < 1 при - - ∞<х<<∞;

• функция распределения F(x) не уменьшается при возрастании аргумента х;

• для интегральной функции распределения F(x) справедливо равенство

Если случайная величина X(t₁) является непрерывной во времени, то зачастую вместо функции распределения удобнее пользоваться ее производной

(4.2)

получившей название одномерной плотности распределения вероятности (или, проще, плотности вероятности —probability density function, PDF).

Зададим некоторый интервал а - b изменения мгновенного значения х случайного процесса (см. рис. 4.2). Тогда из (4.2) следует, что плотность вероятности

(4.3)

— есть вероятность попадания случайной величины X(t₁) в заданный интервал.

Пусть параметр а -> - ∞, а b принимает текущее значение переменной х. В этом случае интегральная функция распределения примет вид:

4.4

Одномерная плотность вероятности всегда неотрицательная величина и удовлетворяет условию нормировки

4.5

Площадь под кривой плотности вероятности р(х, t₁) всегда равна единице.

Если φ(х) — известная функция от х (исхода случайного испытания), то по определению ее среднее значение (average value; часто mean value)

4.6

Момент n-го порядка случайной величины X(t) есть среднее значение n-й степени случайной переменной

4.7

Математическое ожидание-момент первого порядка, и дисперсия - центральный момент второго порядка.

4.9 4.10

Дисперсия (variance), или второй центральный момент, определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайного процесса от его математического ожидания

4.11

При нулевом математическом ожидании дисперсия характеризует среднюю мощность флуктуации случайного процесса.

Среди двумерных функций распределения особое место занимает второй смешанный центральный момент — функция корреляции (корреляционная функция), которая характеризует статистическую связь между значениями одного и того же случайного процесса в два различных момента времени.

Функция корреляции

4.12

представляет собой меру связи между сечениями случайного процесса, взятыми в моменты времени t₁ и t₂.

Когда t₁ = t₂, т. е. при совмещении сечений случайного процесса, функция корреляции численно равна дисперсии

4.13

Случайные процессы, изучаемые в радиотехнике, часто обладают следующим специфическим свойством: их функция корреляции стремится к нулю с увеличением временного сдвига т (кстати, это является достаточным условием эргодичности процесса). Чем быстрее убывает функция R(τ), тем слабее оказывается статистическая связь между мгновенными значениями случайного сигнала в два несовпадающих момента времени.