Формула (2) является аналитическим выражением принципа Гюйгенса - Френеля.

Напомним, что каждое колебание по методу векторных диаграмм можно представить вектором с длиной, пропорциональной амплитуде колебания, образующим с некоторым исходным направлением угол, равный начальной фазе колебания. Разобьём поверхность первой зоны Френеля (рисунок 4) на очень узкие подзоны такие, что амплитуды колебаний, создаваемых каждой из подзон можно было бы считать одинаковыми, а начальные фазы отличающимися на очень небольшой угол . Колебание, создаваемое каждой из подзон можно изобразить небольшим вектором.
Примем за начало отсчета вектор колебания от центральной подзоны(рисунок 4). Тогда векторы от последующих подзон будут составлять угол с вектором от предыдущей подзоны. Вектор колебания, создаваемого первой зоной Френеля, я получаются геометрическим суммированием векторов колебаний от от подзон и показан на рисунке 5. Если ширину подзон уменьшить, то отдельные векторы сливаются в сплошную полуокружность. Для каждой из зон Френеля вектор суммарный вектор колебания получается соединением начала и окончания соответствующей полуокружности. На рисунке 6 показаны векторы, соответствующие колебаниям от первой зоны Френеля и второй зоны Френеля. В силу плавного уменьшения амплитуды колебаний от зон Френеля с ростом их номера, каждая из последующих полуокружностей имеет меньший диаметр. Последовательность векторов амплитуд от подзон оказывается спиралью. Поэтому результирующее колебание от полностью открытой волновой поверхности изображается вектором, идущим от начала вектора для первой подзоны в центр спирали (рисунок 6.). Отметим, что модуль вектора колебания от всей волновой поверхности приблизительно равен модулю вектора колебаний от трети первой зоны Френеля. Поэтому можно считать, что в точку наблюдения вся энергия распространяется по узкому каналу с площадью сечения порядка трети первой зоны Френеля. Для оценки реальных размеоров зон укажем следующее: при и длины волны 0,5 мк радиус первой зоны Френеля составляет 0,5 мм.

В каждом конкретном случае можно изготовить зонную пластинку, которая закрывает, например, четные зоны Френеля и прозрачна для нечетных. Действие такой пластики будет напоминать собирающую линзу, в фокусе которой находится точка наблюдения. Действительно, амплитуда результиру-ющего колебания в точке наблюдения оказывается (рисунок 7) во много раз больше по сравнению с амплитудой от всей волновой поверхности.

Представим, что на пути света от точечного источника к точке наблюдения установлена диафрагма с круглым отверстием изменяющегося радиуса. Пи увеличении радиуса отверстия диафрагмы от нуля интенсивность в точке сначала монотонно увеличивается до тех пор, пока диафрагма открывает площадь первой зоны Френеля. С момента, когда диафрагма начинает открывать площадь второй зоны, интенсивность в точке начинает уменьшаться и уходит к очень малому значению при полном открытии второй зоны. Затем, при открывании третьей, интенсивность возрастает почти до максимального значения. Колебания от волн от четвертой зоны гасят колебания от третьей и т.д. Таким образом, при увеличении отверстия диафрагмы интенсивность света в точке наблюдения периодически изменяется.

Допустим теперь, что диафрагма установлена в положение, когда она открывает три зоны Френеля. Построим зоны Френеля для точки . Очевидно, что для этой точки преграда скрывает часть третей зоны (вверху) и открывает часть четвертой (внизу).

Если диафрагма оставляет открытыми четное число зон Френеля, то распределение интенсивности света на экране будет описываться графиком, представленным на рисунке 12. В центре дифракционной картины будет темное пятно, окруженное светлым кольцом.

При изменении отверстия диафрагмы происходит плавный переход от одного распределения к другому.

27.7. Дифракция от круглого диска

Допустим, что непрозрачный диск закрывает первых зон Френеля, и число невелико. Это означает, что на векторной диагармме, показанной на рисунке 6, отсутствуют первые полуокружностей. Поэтому результирующая амплитуда для центральной точки изменится незначительно. Поэтому в центре дифракционной картины должно быть светлое пятно.

Аналитически эта ситуация описывается следующим образом. Амплитуда результирующего колебания в центре дифракционной картины описывается выражением

(8)

Каждая из скобок в (6) равна нулю, и Если не сильно отличается от , то интенсивность в центре экрана будет почти такая же как в отсутствие преграды.

При смещении из центра зона частично скрывается и открывается -я зона. Поэтому интенсивность света убывает. Дифракционная картина будет иметь вид темных и светлых колец, но в центре обязательно будет светлая точка.

Однако если диск перекрывает много зон Френеля, то темные и светлые кольца наблюдаются только в окрестности геометрической тени, а светлая точка в центре отсутствует, из-за того, что интенсивность намного меньше интенсивности от центральной зоны.

27.8. Дифракция прямолинейного края полуплоскости

Представим, что на полу-плоскость с прямолинейным кра-ем падает плоская световая волна, фронт которой параллелен полуплоскости. Дифракционная картина должна наблюдаться на экране, расположенном на расстоянии параллельно полу­плоскости. Результат дифракции в некоторой точке экрана оценрим следующим обюразом. Разобьем волновую поверхность на зоны (это не есть зоны Френеля!) линиями, парллель-ными краю полуплоскости таким образом, чтобы расстояние от краев каждой зоны до точки наблюдения отличалось бы на небольшую величину . Это условие обеспечивает отличие колебаний, создаваемых каждой такой зоной, по сравнению с соседней по фазе на небольшой угол . Интенсивность колебаний в определяется площадью зоны, ее расстоянием до точки и углом, под которым видна зона из точки наблюдения. Расчеты показывают (и это ясно из рисунка), что сначала, при небольших номерах зон, амплитуда колебаний с ростом номера зоны изменяется быстро, а потом медленнее. Поэтому векторная диаграмма для некоторого количества зон, находящихся справа от точки наблюдения будет иметь вид, показанный на рисунке 15. Для , стремящегося к нулю, получим кривую в виде спирали, сходящейся к некоторому фокусу (рисунок 16). Аналогично выглядит и спираль, построенная для точек, находящихся слева от точки наблюдения. Полученный рисунок называется спиралью Корню.

Если точка наблюдения находится непосредственно под границей полуплоскости, то амплитуда колебания будет изображаться вектором из точки О в (красным), поскольку все левые зоны закрыты.

Если рассматривать точки, находящиеся под полуплоскостью, то для них скрывается часть первых зон справа от . Поэтому начало результирующего вектора будет смещаться по спирали, и его модуль будет монотонно уменьшаться. Чем дальше вглубь геометрической тени, тем меньше амплитуда колебания. Для точек, находящихся под открытой полуплоскостью открыты все правые зоны и часть левых. По мере их открытия начало результирующего вектора смещается по спирали, и он достигает максимального значения, показанного на рисунке 17 коричневым вектором. При дальнейшем удалении края полуплоскости результирующий вектор начинает уменьшаться, поскольку его начало будет приближаться к точке О. Поэтому по мере удаления от края полуплоскости амплитуда и интенсивность света будут осциллировать вблизи некоторого значения, но амплитуда осцилляций будет уменьшаться. Поэтому распределение интенсивности света по экрану будет примерно таким, как это показано на рисунке 18. Описанные изменения интенсивности света на экране действительно наблюдаются экспериментально, и на хорошо сделанных фотографиях вблизи края полуплоскости видны полосы с чередующейся интенсивностью.

.

27.9. Дифракция Френеля от щели – самостоятельно.

27.10. Дифракция Фраунгофера от щели

Представим себе, что на бесконечную щель шириной , образованную двумя полуплоскостями с параллельными краями падает плоская волна. Для наблюдения дифракции Фраунгофера расположим за щелью линзу, а в ее фокальной плоскости – экран. Линза собирает лучи, идущие под углом после дифракции на щели, в некоторой точке экрана Р.

Разобьем поверхность щели на очень узкие одинаковые зоны шириной с краями параллельными границам щели. Каждая зона создает в точке наблюдения колебание с амплитудой . Фазы колебаний ососедних зон отличаются на небольшую величину , определяющуюся разностью хода от соответствующих точек соседних щелей, равной .

Рассмотрим лучи, идущие за щелью под углом . Эти лучи соберутся линзой в точке в точке - фокусе линзы. Для таких лучей векторы колебаний от зон синфазны, и при сложении дадут некоторую амплитуду колебания .

Рассмотрим последовательно ситуации для лучей под различными углами , предполагая, что этот угол плавно увеличивается. Лучи идущие под маленьким после сложения дадут результирующий вектор . Точки с соответствующими интенсивностями света будут расположены симметрично относительно .

Если угол будет удовлетворять условию , то векторы от крайних зон окажутся в противофазе. В результате сум-мирования векторов получим амплитуду .

Если угол будет удовлетворять условию , то векторы от крайних зон окажутся в сдвинутыми на . Амплитуда колебаний в соответствующей точке (и симметричной ей) оказывается равной нулю: .

Однако при дальнейшем увеличении , для условия , При той же суммарной длине векторов, амплитуда достигнет результирующего значения . Следовательно, на экране симметрично фокусу будут две точки, в которых интенсивность света достигает максимального значения, однако по сравнению с центральным максимумом интенсивность в них будет намного меньше.