Две функции равны, если совпадают их таблицы истинности (на объединенном наборе переменных).

ЛОГИЧЕСКИЕ (БУЛЕВЫ) ФУНКЦИИ

Основные логические функции

Обозначим через E = {0, 1} – множество, состоящее из двух чисел. Числа 0 и 1 являются основными в дискретной математике. Часто они интерпретируются как “ложь” (л ={0}) и как “истина” (и ={1}). Декартово произведение E* Е* Е* …* E=Eⁿ является множеством упорядоченных наборов, состоящих из п чисел (нулей и единиц). Как известно, Е^п cодержит 2^п элементов (упорядоченных наборов). Само множество Е^п можно естественным образом упорядочить, для чего достаточно считать каждый набор двоичным разложением целого числа k (0£ k£2ⁿ–1), записанного с помощью п знаков. Упорядочение наборов проводится по числу k .

Например, при п = 3 множество Е³может быть упорядочено следующим образом.

Такое упорядочение еще называют “скользящей единицей”.

Этот естественный порядок элементов Е^п является самым распространенным, но, как будет видно в разд. 5, иногда удобен другой способ упорядочения.

Логической ( булевой) функцией (или просто функцией) n переменных y = f(x₁, x₂, …, x_n) называется такая функция, у которой все переменные и сама функция могут принимать только два значения: 0 и 1.

Переменные, которые могут принимать только два значения 0 и 1 называются логическими переменными (или просто переменными). Заметим, что логическая переменная х может подразумевать под числом 0 некоторое высказывание, которое ложно, и под числом 1 высказывание, которое истинно. Например, высказывание “Волга впадает в Каспийское море” является истинным и, значит, с точки зрения дискретной математики принимает значение 1, а высказывание “в неделе 8 дней” является ложным, и переменная, которая заменяет это высказывание, принимает значение 0. Имеется много высказываний, которые либо истинны, либо ложны, но о которых мы не знаем, что имеет место на самом деле. Например, высказывание “студент Петров (имеется в виду конкретный человек) имеет дома компьютер”. Такого рода высказывания требуют проверки (конечно, если нам важен этот факт). Поэтому считаем, что переменная, заменяющая это высказывание может принимать значение 0 или 1.

Из определения логической функции следует, что функция п переменных – это отображение Е^п в Е,которое можно задать непосредственно таблицей, называемой таблицей истинности данной функции. Например, функция трех переменных f(x,y,z) может определяться следующей таблицей истинности.

Это означает, что f(0,0,0) = 1, f(0,0,1) = 0, f(0,1,0) = 1 и т. д.

Две функции равны, если совпадают их таблицы истинности (на объединенном наборе переменных).

При таком задании наборы Е^п всегда упорядочены естественным образом, это позволяет определять функцию только последним столбцом (который иногда для экономии места записывается в строчку). Например, в нашем примере функцию f(x,y,z) можно задать так: f = (10110100), это означает, что последний столбец таблицы истинности

Заметим, что все функции п переменных также можно перенумеровать по принципу “скользящей единицы”. Теоретически число таких функций – 2²ⁿ но некоторые из них являются по существу функциями меньшего числа переменных, а две – вообще константами. Если фактически функция не зависит от некоторой переменной, то такую переменную называют фиктивной.

Теперь можно описать основные функции дискретной математики.

Функции одной переменной y=f(x). Перенумеруем эти функции (их 4) естественным образом и расположим в виде таблицы:

Видно, что f₀(х) = 0, a f₃(х) =1, т. е. эти две функции не зависят от х, f₁(х) = х, т. е. она не меняет аргумента. Функция f₂(х) действительно содержательная функция. Она принимает значения, противоположные значениям аргумента, обозначается f₂(х)= и называется отрицанием (применяют еще обозначение ù x (читается “не x”)).

Функции двух переменных z = f(x,y).

Число этих функций равно 2⁴ = 16. Перенумеруем и расположим их тоже в естественном порядке.

Рассмотрим более подробно эти функции. Две из них f₀ = 0 и f₁₅ = 1 являются константами. Функции

являются по существу функциями одной переменной.

Наиболее важные функции двух переменных имеют специальные названия и обозначения. Заметим, что эти обозначения не всегда общеприняты.

Перечислим 7 важнейших функций:

1) конъюнкция (функция И)

Заметим, что конъюнкция – это фактически обычное умножение (нулей и единиц). Иногда эту функцию обозначают x&y или x Ùy;

2) дизъюнкция (функция или)

3) импликация (следование)

Иногда импликацию обозначают xÉy или x ® y (читается “из x следует y”).

Это очень важная функция, особенно в логике. Ее можно рассматривать следующим образом: если х = 0 (т. е. х “ложно”), то из этого факта можно вывести и “ложь”, и “истину” (и это будет правильно), если у = 1 (т. е. у “истинно”), то истина выводится и из “лжи” и из “истины”, и это тоже правильно. Только вывод “из истины ложь” является неверным. Заметим, что любая теорема всегда фактически содержит эту логическую функцию;

4) сложение по модулю 2 (здесь и далее, если не оговорено противное, знаком “+” мы будем обозначать такое сложение):

5) эквивалентность или подобие

Эта f₉ = 1 тогда и только тогда, когда х = у. Заметим, что будем применять оба обозначения: х^у (в основном при изучении функций) и х~ у (когда речь будет идти о логических операциях);

6) штрих Шеффера

Иногда эту функцию называют “не и” (так как она равна отрицанию конъюнкции);

7) стрелка Пирса (иногда эту функцию называют штрих Лукасевича)

Эта функция является отрицанием дизъюнкции и поэтому иногда ее называют “не или”.

Заметим, что свойства последних двух функций (как будет видно далее) похожи между собой и, может быть, поэтому в литературе их часто путают (т. е. называют f₈штрихом Шеффера, а f₁₄– стрелкой Пирса).

Три оставшиеся функции, (f₂, f₄и f₁₁) особого значения в дискретной математике не имеют.

Заметим, что часто будут рассматриваться функции от функций, т. е. суперпозиции перечисленных выше функций. При этом последовательность действий указывается (как обычно) скобками. Исключение составляет конъюнкция (которая на самом деле является обычным умножением в двоичной системе). Поэтому конъюнкция совершается первой даже если отсутствуют скобки. Например, запись xyÚ yz означает (xy)Ú (yz).

Из перечисленных функций особую роль играют три функции, а именно конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, поэтому рассмотрим более подробно их свойства.