Прямая задача кинематики

Для систематического и обобщённого подхода к описанию и представлению расположения звеньев манипулятора (исполнительных механизмов робота) относительно заданной абсолютной системы координат применяют матричную и векторную алгебру.

Звенья манипулятора могут совершать вращательное и/или поступательное движение относительно абсолютной системы координат, оси которой параллельны осям сочленений звеньев. Прямая задача кинематики сводится к определению матрицы преобразования, устанавливающей связь между абсолютной и связанной системами координат. Для описания вращательного движения связанной системы отсчёта относительно абсолютной используется матрица поворота (вращения) размерностью 3´3. Для поступательного движения используется матрица однородного преобразования размерностью 4´4.

Матрицы поворота (вращения).

Матрицу поворота размерностью 3´3 можно определить как матрицу преобразования трёхмерного вектора положения в евклидовом пространстве, переводящую его из повернутой (связанной) системы отсчёта OUVW в абсолютную систему координат OXYZ. На рис.2.2 показаны две правые прямоугольные системы координат: система координат OXYZ с осями OX, OY, OZ и система OUVW с осями OU, OV, OW. Начала этих систем совпадают и расположены в точке О.

Рисунок 2.2. Абсолютная и связанная системы координат

Система OXYZ фиксирована в трёхмерном пространстве и принята за абсолютную. Система координат OUVW вращается относительно абсолютной и физически рассматривается как связанная система координат. Это означает, что она жёстко связанна с твёрдым телом (например, самолётом) и движется вместе с ним.

Пусть (i_x, j_y, k_z) и (i_u, j_v, k_w) – единичные векторы, направленные вдоль своей системы OXYZ и OUVW соответственно. Некоторую точку P в пространстве можно характеризовать координатами относительно любой из указанных систем:

p_uvw = (p_u, p_v, p_w)^T и p_xyz = (p_x, p_y, p_z)^T (2-1)

где T - означает операцию транспонирования.

Задача состоит в том, чтобы определить матрицу R размерностью 3´3, которая преобразует координаты p_uvw в координаты вектора p системе OXYZ после того, как система OUVW будет повёрнута, т.е.:

p_xyz = Rp_uvw . (2-2)

Заметим, что физически точка p вращается вместе с системой координат OUVW.

Из определения компонент вектора имеем:

p_uvw = p_u×i_u+p_v×j_v+p_w×k_w, (2-3)

где p_u, p_v, и p_w представляют собой составляющие вектора pвдоль осей OU, ОV, ОW соответственно, или проекции вектора pна эти оси. Используя определение скалярного произведения и равенства (2-3), получаем:

p_x = i_x × p = i_x × i_u × p_u + i_x × j_v × p_v + i_x × k_w × p_w,

p_y = j_y × p = i_y × i_u × p_u + j_y × j_v × p_v + j_y × k_w × p_w,

p_z = k_z × p = k_z × i_u × p_u + k_z × j_v × p_v + k_z × k_w × p_w. (2-4)

или в матричной форме:

. (2-5)

С учётом этого выражения матрица Rв равенстве (2-2) примет вид:

. (2-6)

Аналогично, координаты p_uvw можно получить из координатp_xyz:

p_uvw = Q×p_xyz , (2-7)

или

. (2-8)

Поскольку операция скалярного произведения коммутативна, то из соотношений (2-6)…(2-8) следует

Q = R^-1 = R^T, (2-9)

QR= R^TR = R^-1×R= I₃, (2-10)

где I₃ – единичная матрица размерностью 3´3.

Преобразование, определяемое формулой (2-9) или (2-10), называется ортогональным преобразованием.

Особый интерес представляет матрица поворота системы OUVW относительно каждой из трёх основных системы OXYZ. Если положение системы OUVW в пространстве изменяется за счёт поворота этой системы на угол a вокруг оси OX, то в системе отсчёта OXYZ изменяются и координаты (p_x, p_y, p_z)^T точки (p_u, p_v, p_w). Соответствующая матрица преобразования R_x,a называется матрицей поворота вокруг оси OX на угол a. Основываясь на полученных выше результатах, для матрицы R_x,a имеем:

p_xyz = R _x,a ×p_uvw, (2-11)

причём i_x i_u, и

. (2-12)

Рисунок 2.3. Вращающаяся система координат

Аналогично, трёхмерные (размерностью 3´3) матрицы поворота вокруг оси OY на угол j и вокруг оси OZ на угол q имеют соответственно вид (рис.2.3).

, . (2-13)

Матрицы R_x,a, R_y,j и R_z,q называют матрицами элементарных поворотов.