Запишите систему узловых уравнений для 3-х узловой электрической сети.

Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если воспользоваться специальными методами расчета,одним из которых является метод узловых потенциалов.

Метод узловых потенциалов позволяет снизить порядок системы для расчета электротехнических схем. Данный метод состоит в нахождении потенциалов всех узлов схемы и затем по известным потенциалам токов во всех ветвях. Метод узловых потенциалов базируется на первом законе Кирхгофа.
Прежде чем приступить к изучению метода узловых потенциалов, рассмотрим схему рис.1:

Рис. 1.
Пусть в ней известны потенциалы и , а так же все параметры элементов. Запишем значение потенциала через потенциал и через падения напряжений на элементах схемы. Запись произведем с учетом того, что ток всегда протекает от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом.
.
Выразим из этого уравнения ток:
.
Положим данную конструкцию в основу дальнейшего вывода. Рассмотрим схему рис. 2:

Рис. 2.
Выразим все токи через потенциалы узлов , , и .
; ; ; ; ; .
Далее запишем первый закон Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3.
Для узла 1:
.
Для узла 2:
.
Для узла 3:
.
Произведем подстановку в эти уравнения токов, выраженных через потенциалы:
;
;
.
Выполним почленное деление на и перенесем члены уравнения, содержащие ЭДС в правую часть. Запишем первое уравнение относительно , второе – относительно , третье – относительно . Потенциал приравняем к нулю . Получим:
;
;
.
Воспользовавшись этой системой уравнений можно рассчитать потенциалы узлов, а затем токи в ветвях как:
; ; ; ; ; .
Обозначим сумму проводимостей ветвей принадлежащих одному узлу узловыми проводимостями:
, , .
А проводимости, ветвей между узлами взаимными проводимостями:
, , .
С учетом введенных обозначений запишем систему уравнений для расчета узловых потенциалов в общем виде:
;
;
.
Приведем алгоритм расчета электрических схем с помощью метода узловых потенциалов.
1. Приравняем потенциал одного из узлов 0;
2. Составим уравнения по методу узловых потенциалов (знаки (-) в уравнениях присваиваются автоматически). В правой части уравнений знак определяется следующим образом: если ЭДС направлена к узлу, то она имеет знак (+), если от узла – (-);
3. Рассчитываем уравнения, определяем потенциалы.
4. Определяем токи по приведённым ранее формулам.