ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ Ф.Н.П. ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

Теорема 1 (о производной сложной функции). Пусть функции определены и дифференцируемы в точке , функция определена в некоторой окрестности точки , где и дифференцируема в этой точке, то в некоторой окрестности точки определена сложная функция которая дифференцируема в точке и ее производная в точке вычисляется по формуле:

(3)

Производную называют полной производной сложной функции. Как и полный дифференциал, полная производная вычисляется по правилу «цепочки».

С л е д с т в и е.Если в условиях теоремы принять функции и дифференцируемыми в точке и то сложная функция определена в окрестности точки и дифференцируема в точке причем в этой точке

(4)

(5)

Переменные называют зависимыми или промежуточными, а независимыми переменными.

З а м е ч а н и е.Сформулированная теорема обобщается на сложные функции произвольного числа зависимых и независимых переменных.

Пример 5. Найти полную производную и частные производные и функции если а) б)

□ а) Полную производную вычислим по формуле (3):

Исключим и получим

б) Частные производные и вычислим по формулам (4), (5) при

При что соответствует переходу от декартовой системы координат к полярной, получим

Исключив имеем

Задачу можно решить и другим способом: найти прямые зависимости от в первой части задания и от во второй, после чего выполнить дифференцирование:

а)

б) ■