Расчет по прочности железобетонных элементов на действие изгибающих моментов и продольных сил

Общие положения

8.1.1 Расчет по прочности железобетонных элементов при действии изгибающих моментов и продольных сил (внецентренное сжатие или растяжение) следует производить для сечений, нормальных к их продольной оси.

Расчет по прочности нормальных сечений железобетонных элементов следует производить на основе нелинейной деформационной модели согласно 8.1.20 - 8.1.30.

Допускается производить расчет на основе предельных усилий:

железобетонных элементов прямоугольного, таврового и двутаврового сечений с арматурой, расположенной у перпендикулярных плоскости изгиба граней элемента, при действии усилий в плоскости симметрии нормальных сечений согласно 8.1.4 - 8.1.16;

внецентренно сжатых элементов круглого и кольцевого поперечных сечений - по указаниям приложения Г.

8.1.2 При расчете внецентренно сжатых элементов следует учитывать влияние прогиба на их несущую способность, как правило, путем расчета конструкций по деформированной схеме.

Допускается производить расчет конструкций по недеформированной схеме, учитывая при гибкости l₀/i > 14 влияние прогиба элемента на его прочность путем умножения начального эксцентриситета e₀на коэффициент η, определяемый согласно указаниям 8.1.15.

8.1.3 Для железобетонных элементов, у которых предельное усилие по прочности оказывается меньше предельного усилия по образованию трещин (пп. 8.2.8 - 8.2.14), площадь сечения продольной растянутой арматуры должна быть увеличена по сравнению с требуемой из расчета по прочности не менее чем на 15 %, или определена из расчета по прочности на действие предельного усилия по образованию трещин.

Расчет по прочности нормальных сечений по предельным усилиям

8.1.4 Предельные усилия в сечении, нормальном к продольной оси элемента, следует определять исходя из следующих предпосылок:

сопротивление бетона растяжению принимают равным нулю;

сопротивление бетона сжатию представляется напряжениями, равными R_b и равномерно распределенными по сжатой зоне бетона;

деформации (напряжения) в арматуре определяют в зависимости от высоты сжатой зоны бетона;

растягивающие напряжения в арматуре принимают не более расчетного сопротивления растяжению R_s;

сжимающие напряжения в арматуре принимают не более расчетного сопротивления сжатию R_sc.

8.1.5 Расчет по прочности нормальных сечений следует производить в зависимости от соотношения между значением относительной высоты сжатой зоны бетона , определяемым из соответствующих условий равновесия, и значением граничной относительной высоты сжатой зоны ξ_R, при котором предельное состояние элемента наступает одновременно с достижением в растянутой арматуре напряжения, равного расчетному сопротивлению R_s.

8.1.6 Значение ξ_r определяют по формуле

(8.1)

где ε_s,el - относительная деформация растянутой арматуры при напряжениях, равных R_s

(8.2)

ε_b2 - относительная деформация сжатого бетона при напряжениях, равных R_b, принимаемая в соответствии с указаниями 6.1.20.

Для тяжелого бетона классов В70 - В100 и для мелкозернистого бетона в числителе формулы (8.1) вместо 0,8 следует принимать 0,7.

8.1.7 При расчете внецентренно сжатых железобетонных элементов в начальном эксцентриситете приложения продольной силы е₀следует учитывать случайный эксцентриситет е_а, принимаемый не менее:

1/600 длины элемента или расстояния между его сечениями, закрепленными от смещения;

1/30 высоты сечения;

10 мм.

Для элементов статически неопределимых конструкций значение эксцентриситета продольной силы относительно центра тяжести приведенного сечения е₀принимают равным значению эксцентриситета, полученного из статического расчета, но не менее е_а.

Для элементов статически определимых конструкций эксцентриситет е₀принимают равным сумме эксцентриситетов из статического расчета конструкций и случайного.

Расчет изгибаемых элементов

8.1.8 Расчет по прочности сечений изгибаемых элементов производят из условия

М £ М_ult, (8.3)

где М - изгибающий момент от внешней нагрузки:

M_ult - предельный изгибающий момент, который может быть воспринят сечением элемента.

8.1.9 Значение М_иlt для изгибаемых элементов прямоугольного сечения (рисунок 8.1) при определяют по формуле

M_ult = R_b × b × x(h₀ - 0,5x) + R_sc × A'_s × (h₀ - a'), (8.4)

при этом высоту сжатой зоны х определяют по формуле

0138S10-03623

(8.5)

8.1.10 Значение M_ult для изгибаемых элементов, имеющих полку в сжатой зоне (тавровые и двутавровые сечения), при определяют в зависимости от положения границы сжатой зоны:

а) если граница проходит в полке (рисунок 8.2, а), т.е. соблюдается условие

R_s × A_s £ R_b × b'_f × h'_f + R_sc × A'_s, (8.6)

значение M_ult определяют по 8.1.9 как для прямоугольного сечения шириной b'_f;

б) если граница проходит в ребре (рисунок 8.2, б), т.е. условие (8.6) не соблюдается, значение M_ult определяют по формуле

M_ult = R_b × b × x(h₀ - 0,5x) + R_b(b'_f - b)h'_f(h₀ - 0,5 × h'_f) + R_sc × A'_s(h₀ - a'),(8.7)

при этом высоту сжатой зоны бетона х определяют по формуле

0138S10-03623

(8.8)

0138S10-03623

Рисунок 8.1 - Схема усилий и эпюра напряжений в сечении, нормальном к продольной оси изгибаемого железобетонного элемента, при его расчете по прочности

0138S10-03623

Рисунок 8.2 - Положение границы сжатой зоны в сечении изгибаемого железобетонного элемента

8.1.11 Значение b'_f, вводимое в расчет, принимают из условия, что ширина свеса полки в каждую сторону от ребра должна быть не более 1/6 пролета элемента и не более:

а) при наличии поперечных ребер или при h'_f ³ 0,1h - 1/2 расстояния в свету между продольными ребрами;

б) при отсутствии поперечных ребер (или при расстояниях между ними больших, чем расстояния между продольными ребрами) и h'_f < 0,1h - 6h'_f;

в) при консольных свесах полки:

при h'_f ³ 0,1h........................... 6h'_f;

при 0,05h £ h'_f < 0,1h............. 3h'_f;

при h'_f < 0,05h - свесы не учитывают.

8.1.12 При расчете по прочности изгибаемых элементов рекомендуется соблюдать условие x £ξ_R × h₀.

В случае, когда по конструктивным соображениям или из расчета по предельным состояниям второй группы площадь растянутой арматуры принята большей, чем это требуется для соблюдения условия x £ξ_R × h₀, допускается предельный изгибающий момент M_ult определять по формулам (8.4) или (8.7), подставляя в них значения высоты сжатой зоны x =ξ_R × h₀.

8.1.13 При симметричном армировании, когда R_s × A = R_sc × A'_s, значение М_ult определяют по формуле

M_ult = R_s × A_s(h₀ - a'). (8.9)

Если вычисленная без учета сжатой арматуры (A'_s = 0) высота сжатой зоны х < 2а', в формулу (8.9) подставляют вместо а' значение x/2.

Расчет внецеитренно сжатых элементов

8.1.14 Расчет по прочности прямоугольных сечений внецеитренно сжатых элементов производят из условия

N × e £ R_b × b × х(h₀ - 0,5х) + R_sс × А'_s(h₀ - a'),(8.10)

где N - продольная сила от внешней нагрузки;

е - расстояние от точки приложения продольной силы N до центра тяжести сечения растянутой или наименее сжатой (при полностью сжатом сечении элемента) арматуры, равное

(8.11)

Здесь η - коэффициент, учитывающий влияние продольного изгиба (прогиба) элемента на его несущую способность и определяемый согласно 8.1.15.

e₀ - по 8.1.7.

Высоту сжатой зоны х определяют:

а) при ξ = x/h₀ £ ξ_R (рисунок 8.3) по формуле

0138S10-03623

(8.12)

б) при ξ = x/h₀ > ξ_R по формуле

0138S10-03623

(8.13)

0138S10-03623

Рисунок 8.3 - Схема усилий и эпюра напряжений в сечении, нормальном к продольной оси внецентренно сжатого железобетонного элемента, при расчете его по прочности

8.1.15 Значение коэффициента η при расчете конструкций по недеформированной схеме определяют по формуле

(8.14)

где N - продольная сила от внешней нагрузки;

N_cr - условная критическая сила, определяемая по формуле

(8.15)

Здесь D - жесткость железобетонного элемента в предельной по прочности стадии, определяемая согласно указаниям расчета по деформациям;

l₀ - расчетная длина элемента, определяемая согласно 8.1.17.

Допускается значение D определять по формуле

D = k_bE_bI + k_sE_sI_s,

где Е_b, E_s - модули упругости бетона и арматуры соответственно;

I, I_s - моменты инерции площадей сечения бетона и всей продольной арматуры соответственно относительно оси, проходящей через центр тяжести поперечного сечения элемента;

k_s = 0,7;

φ_l - коэффициент, учитывающий влияние длительности действия нагрузки φ_l = 1 + M_l1/M₁, но не более 2.

здесь М₁, М_l1 - моменты относительно центра наиболее растянутого или наименее сжатого (при целиком сжатом сечении) стержня соответственно от действия полной нагрузки и от действия постоянных и длительных нагрузок;

δ_е - относительное значение эксцентриситета продольной силы e₀/h, принимаемое не менее 0,15 и не более 1,5.

Допускается уменьшать значение коэффициента ηс учетом распределения изгибающих моментов по длине элемента, характера его деформирования и влияния прогибов на значение изгибающего момента в расчетном сечении путем расчета конструкции как упругой системы.

8.1.16 Расчет по прочности прямоугольных сечений внецентренно сжатых элементов с арматурой, расположенной у противоположных в плоскости изгиба сторон

сечения, при эксцентриситете продольной силы е₀ £ h/30 и гибкости l₀/h £ 20 допускается производить из условия

N £ N_ult,(8.16)

где N_ult - предельное значение продольной силы, которую может воспринять элемент, определяемое по формуле

N_ult = φ × (R_b × A + R_sc × A_s,tot). (8.17)

Здесь А - площадь бетонного сечения;

A_s.tot - площадь всей продольной арматуры в сечении элемента;

φ - коэффициент, принимаемый при длительном действии нагрузки по таблице 8.1 в зависимости от гибкости элемента; при кратковременном действии нагрузки значения φ определяют по линейному закону, принимая φ = 0,9 при l₀/h = 10 и φ = 0,85 при l₀/h = 20.

Таблица 8.1

8.1.17 Расчетную длину l₀ внецентренно сжатого элемента определяют как для элементов рамной конструкции с учетом ее деформированного состояния при наиболее невыгодном для данного элемента расположении нагрузки, принимая во внимание неупругие деформации материалов и наличие трещин.

Допускается расчетную длину l₀элементов постоянного поперечного сечения по длине / при действии продольной силы принимать равной:

а) для элементов с шарнирным опиранием на двух концах - 1,0l;

б) для элементов с жесткой заделкой (исключающей поворот опорного сечения) на одном конце и незакрепленным другим концом (консоль) - 2,0l;

в) для элементов с шарнирным несмещаемым опиранием на одном конце, а на другом конце:

с жесткой (без поворота) заделкой - 0,7l;

с податливой (допускающей ограниченный поворот) заделкой - 0,9l;

г) для элементов с податливым шарнирным опиранием (допускающем ограниченное смещение опоры) на одном конце, а на другом конце:

с жесткой (без поворота) заделкой - 1,5l;

с податливой (с ограниченным поворотом) заделкой - 2,0l;

д) для элементов с несмещаемыми заделками на двух концах:

жесткими (без поворота) - 0,5l;

податливыми (с ограниченным поворотом) - 0,8l;

е) для элементов с ограниченно смещаемыми заделками на двух концах: жесткими (без поворота) - 0,8l;

податливыми (с ограниченным поворотом) - 1,2l.

Расчет центрально растянутых элементов

8.1.18 Расчет по прочности сечений центрально растянутых элементов следует производить из условия

N £ N_ult,(8.18)

где N - продольная растягивающая сила от внешних нагрузок;

N_ult - предельное значение продольной силы, которое может быть воспринято элементом.

Значение силы N_ult определяют по формуле

N_ult = R_s × A_s,tot, (8.19)

где A_s,tot - площадь сечения всей продольной арматуры.

Расчет внецентренно растянутых элементов

8.1.19 Расчет по прочности прямоугольных сечений внецентренно растянутых элементов следует производить в зависимости от положения продольной силы N:

а) если продольная сила N приложена между равнодействующими усилий в арматуре S и S' (рисунок 8.4, а) - из условий

N × e £ M_ult;(8.20)

N × e' £ M'_ult,(8.21)

где N × e и N × e' - усилия от внешних нагрузок;

М_ult и M'_ult - предельные усилия, которые может воспринять сечение.

Усилия М_ult и M'_ult определяют по формулам

М_ult = R_s × A'_s(h₀ - a'); (8.22)

М'_ult = R_s × A_s(h₀ - a');(8.23)

б) если продольная сила N приложена за пределами расстояния между равнодействующими усилий в арматуре S и S' (рисунок 8.4, б) - из условия (8.20), определяя предельный момент М_ult по формуле

М_ult = R_b × b × x(h₀ - 0,5x) + R_sc × A'_s(h₀ - a'), (8.24)

при этом высоту сжатой зоны х определяют по формуле

0138S10-03623

(8.25)

Если полученное из расчета по формуле (8.25) значение х > ξ_R × h₀, в формулу (8.24) подставляют x = ξ_R × h, где ξ_R определяют согласно указаниям 8.1.6.

0138S10-03623

а - между равнодействующими усилий в арматуре S и S'; б - за пределами расстояний между равнодействующими усилий в арматуре S и S'

Рисунок 8.4 - Схема усилий и эпюра напряжений в сечении, нормальном к продольной оси внецентренно растянутого железобетонного элемента, при расчете его по прочности при приложении продольной силы N

Расчет по прочности нормальных сечений на основе нелинейной деформационной модели

8.1.20 При расчете по прочности усилия и деформации в сечении, нормальном к продольной оси элемента, определяют на основе нелинейной деформационной модели, использующей уравнения равновесия внешних сил и внутренних усилий в сечении элемента, а также следующих положений:

распределение относительных деформаций бетона и арматуры по высоте сечения элемента принимают по линейному закону (гипотеза плоских сечений);

связь между осевыми напряжениями и относительными деформациями бетона и арматуры принимают в виде диаграмм состояния (деформирования) бетона и арматуры.

сопротивление бетона растянутой зоны допускается не учитывать, принимая при ε_bi ³0 напряжения σ_bi = 0. В отдельных случаях (например, изгибаемые и внецентренно сжатые бетонные конструкции, в которых не допускают трещины) расчет по прочности производят с учетом работы растянутого бетона.

8.1.21 Переход от эпюры напряжений в бетоне к обобщенным внутренним усилиям определяют с помощью процедуры численного интегрирования напряжений по нормальному сечению. Для этого нормальное сечение условно разделяют на малые участки: при косом внецентренном сжатии (растяжении) и косом изгибе - по высоте и ширине сечения; при внецентренном сжатии (растяжении) и изгибе в плоскости оси симметрии поперечного сечения элемента - только по высоте сечения. Напряжения в пределах малых участков принимают равномерно распределенными (усредненными).

8.1.22 При расчете элементов с использованием деформационной модели принимают:

значения сжимающей продольной силы, а также сжимающих напряжений и деформаций укорочения бетона и арматуры со знаком «минус»;

значения растягивающей продольной силы, а также растягивающих напряжений и деформаций удлинения бетона и арматуры со знаком «плюс».

Знаки координат центров тяжести арматурных стержней и выделенных участков бетона, а также точки приложения продольной силы принимают в соответствии с назначенной системой координат ХОY. В общем случае начало координат этой системы (точка 0 на рисунке 8.5) располагают в произвольном месте в пределах поперечного сечения элемента.

0138S10-03623

Рисунок 8.5 - Расчетная схема нормального сечения железобетонного элемента

8.1.23 При расчете нормальных сечений по прочности в общем случае (см. рисунок 8.5) используют:

уравнения равновесия внешних сил и внутренних усилий в нормальном сечении элемента:

0138S10-03623

(8.26)

0138S10-03623

(8.27)

0138S10-03623

(8.28)

уравнения, определяющие распределение деформаций по сечению элемента

0138S10-03623

(8.29)

0138S10-03623

(8.30)

зависимости, связывающие напряжения и относительные деформации бетона и арматуры

σ_bi = Е_b × v_bi × ε_bi;(8.31)

σ_sj = Е_sj × v_sj × ε_sj;(8.32)

В уравнениях (8.26) - (8.32):

М_х, M_y - изгибающие моменты от внешней нагрузки относительно выбранных и располагаемых в пределах поперечного сечения элемента координатных осей (соответственно действующих в плоскостях XOZ и YOZ или параллельно им), определяемые по формулам:

M_x = M_xd + N × e_x;(8.33)

M_y = M_yd + N × e_y;(8.34)

здесь M_xd, M_yd - изгибающие моменты в соответствующих плоскостях от внешней нагрузки, определяемые из статического расчета конструкции;

N - продольная сила от внешней нагрузки;

e_x, e_y - расстояния от точки приложения продольной силы N до соответствующих выбранных осей;

А_bi, Z_bzi, Z_byi, σ_bi - площадь, координаты центра тяжести i-го участка бетона и напряжение на уровне его центра тяжести;

А_sj, Z_sxj, Z_syj, σ_sj - площадь, координаты центра тяжести i-го стержня арматуры и напряжение в нем;

ε₀ - относительная деформация волокна, расположенного на пересечении выбранных осей (в точке 0);

1/r_x, 1/r_y - кривизна продольной оси в рассматриваемом поперечном сечении элемента в плоскостях действия изгибающих моментов М_х и М_у;

Е_b - начальный модуль упругости бетона;

E_sj - модуль упругости j-го стержня арматуры;

v_bi - коэффициент упругости бетона i-го участка;

v_sj - коэффициент упругости j-го стержня арматуры.

Коэффициенты v_bi и v_sj принимают по соответствующим диаграммам состояния бетона и арматуры, указанным в 6.1.19, 6.2.13.

Значения коэффициентов v_bi и v_sj определяют как соотношение значений напряжений и деформаций для рассматриваемых точек соответствующих диаграмм состояния бетона и арматуры, принятых в расчете, деленное на модуль упругости бетона Е_b и арматуры Е_s (при двухлинейной диаграмме состояния бетона - на приведенный модуль деформации сжатого бетона Е_b,red). При этом используют зависимости «напряжение - деформация» (6.5) - (6.9), (6.14) и (6.15) на рассматриваемых участках диаграмм.

(8.35)

(8.36)

8.1.24 Расчет нормальных сечений железобетонных элементов по прочности производят из условий:

|ε_b,max| £ ε_b,ult;(8.31)

ε_s,max £ ε_s,ult,(8.38)

где ε_b,max - относительная деформация наиболее сжатого волокна бетона в нормальном сечении элемента от действия внешней нагрузки;

ε_s,max - относительная деформация наиболее растянутого стержня арматуры в нормальном сечении элемента от действия внешней нагрузки;

ε_b,ult - предельное значение относительной деформации бетона при сжатии, принимаемое согласно указаниям 8.1.30;

ε_s,ult - предельное значение относительной деформации удлинения арматуры, принимаемое согласно указаниям 8.1.30.

8.1.25 Для железобетонных элементов, на которые действуют изгибающие моменты двух направлений и продольная сила (рисунок 8.5), деформации бетона ε_b,max и арматуры ε_s,max в нормальном сечении произвольной формы определяют из решения системы уравнений (8.39) - (8.41) с использованием уравнений (8.29) и (8.30)

0138S10-03623

(8.39)

0138S10-03623

(8.40)

0138S10-03623

(8.41)

Жесткостные характеристики D_ij (i,j - 1, 2, 3) в системе уравнений (8.39) - (8.41) определяют по формулам

0138S10-03623

(8.42)

0138S10-03623

(8.43)

0138S10-03623

(8.44)

0138S10-03623

(8.45)

0138S10-03623

(8.46)

0138S10-03623

(8.47)

Обозначения в формулах - см. 8.1.23.

8.1.26 Для железобетонных элементов, на которые действуют только изгибающие моменты двух направлений М_х и М_у (косой изгиб), в уравнении (8.41) принимают N = 0.

8.1.27 Для внецентренно сжатых в плоскости симметрии поперечного сечения железобетонных элементов и расположении оси X в этой плоскости принимают М_у = 0и D₁₂ = D₂₂ = D₂₃ = 0. В этом случае уравнения равновесия имеют вид:

0138S10-03623

(8.48)

0138S10-03623

(8.49)

8.1.28 Для изгибаемых в плоскости симметрии поперечного сечения железобетонных элементов и расположения оси X в этой плоскости принимают N = 0, М_у = 0и D₁₂ = D₂₂ = D₂₃ = 0. В этом случае уравнения равновесия имеют вид:

0138S10-03623

(8.50)

0138S10-03623

(8.51)

8.1.29 Расчет по прочности нормальных сечений внецентренно сжатых бетонных элементов при расположении продольной сжимающей силы в пределах поперечного сечения элемента производят из условия (8.37) согласно указаниям 8.1.24 - 8.1.28, принимая в формулах 8.1.25 для определения D_ij площадь арматуры A_sj = 0.

Для изгибаемых и внецентренно сжатых бетонных элементов, в которых не допускаются трещины, расчет производят с учетом работы растянутого бетона в поперечном сечении элемента из условия

ε_bt,max £ ε_bt,ult, (8.52)

где ε_bt,max - относительная деформация наиболее растянутого волокна бетона в нормальном сечении элемента от действия внешней нагрузки, определяемая согласно 8.1.25 - 8.1.28;

ε_bt,ult - предельное значение относительной деформации бетона при растяжении, принимаемое согласно указаниям 8.1.30

8.1.30 Предельные значения относительных деформаций бетона ε_b,ult (ε_bt,ult)принимают при двузначной эпюре деформаций (сжатие и растяжение) в поперечном сечении бетона элемента (изгиб, внецентренное сжатие или растяжение с большими эксцентриситетами) равными ε_b2(ε_bt2).

При внецентренном сжатии или растяжении элементов и распределении в поперечном сечении бетона элемента деформаций только одного знака предельные значения относительных деформаций бетона ε_b,ult (ε_bt,ult)определяют в зависимости от соотношения деформаций бетона на противоположных гранях сечения элемента ε₁ и ε₂ (|ε₂| ³ |ε₁|) по формулам:

0138S10-03623

(8.53)

0138S10-03623

(8.54)

где ε_b0, ε_bt0, ε_b2 и ε_bt2 - деформационные параметры расчетных диаграмм состояния бетона (6.1.14, 6.1.20, 6.1.22).

Предельные значения относительной деформации арматуры ε_s,ult принимают равными:

0,025 - для арматуры с физическим пределом текучести;

0,015 - для арматуры с условным пределом текучести.