Закон изменения количества движения

Применим к подвижному объему жидкости (рис. 4.4) теорему об изменении количества движения. Для этого в (4.6) положим , тогда имеем:

, (4.19)

где в правой части стоит сумма всех внешних сил, действующих на частицы, заключенных внутри объема ; сумма всех внутренних сил равна нулю, как известно, равна нулю: .

Переходя к контрольному объему и контрольной поверхности , можно записать

.

Учитывая, что на поверхностях непроницаемых тел , последнее уравнение можно записать в следующем виде:

. (4.20)

Это равенство означает: изменение количества движения жидкости, заключенной внутри контрольной поверхности, в единицу времени равно потоку количества движения через контрольную поверхность плюс сумма всех внешних сил, действующих на частицы жидкости, находящиеся внутри контрольного объема.

Дадим характеристику этих сил. Как и все силы, внешние силы можно разбить на массовые (например, сила тяжести) и поверхностные (силы, действующие только на поверхности контрольного объема):

а. Поверхностные силы, действующие на границах твердых тел , представляет собой реакции опор :

, (4.21)

где — вектор напряжения в точках поверхности с нормалью . Если вектор напряжения разложить на нормальную к поверхности и касательную части, т. е.

, (4.22)

то вектор будет состоять из двух частей:

. (4.23)

Первая из них является главным вектором нормальных составляющих реакций опор, вторая - главным вектором касательных составляющих реакций опор. Отметим, что абсолютная величина нормальной составляющей вектора напряжений в случае покоящейся жидкости, а также для идеальной жидкости в точности равна давлению , а при движении вязкой жидкости весьма близка к этой величине;

б. В число поверхностных сил необходимо включить силы, действующие вдоль поверхностей и , т.е. силы, Действующие на жидкость в контрольном объеме со стороны окружающей жидкости:

. (4.24)

Эти силы можно также разбить на два вектора, как и в формуле (4.23). В частности, для идеальной жидкости этот вектор выражается через давление поверхностным итегралом

;

в. Наиболее распространенной массовой силой является сила тяжести. Глвный вектор сил тяжести, приложенных к частицам жидкости внутри контрольного объема, представляется объемным интегралом

,

где — вектор ускорения силы тяжести.

С учетом (4.21) – (4.24) уравнение (4.20) можно представить в следующем виде:

. (4.25)

Для установившегося течения , поэтому уравнение изменения количества движения в интегральной форме имеет более простой вид:

. (4.26)

В частном случае течения жидкости в трубке тока (см. рис. 4.5) формулу (4.26) можно еще более упростить. Применив теорему о среднем к интегралам, стоящим в левой части равенства (4.26), можно вынести из-под знака интеграла значения векторов скорости , взятые в некоторых средних точках сечений и , соответственно:

,

причем в большинстве случаев эти значения близки к средним значениям и скоростей, определенных формулой (3.2). Поскольку в установишемся течении

,

то получаем следующее уравнение:

. (4.27)

Уравнение изменения количества движения жидкости для установившегося течения в трубке тока, записанное в форме (4.27), является исходным для решения многих практически важных задач гидравлики. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Реакция изогнутого под прямым углом участка трубопровода. Вычислим силы, действующие со стороны жидкости, движущейся по изогнутому под прямым углом участку трубопровода (колену), на трубопровод. Рассмотрим сначала случай колена расположенного в горизонтальной плоскости (рис.4.6).

Рис. 4.6. Вычисление реакции жидкости на трубу

при повороте потока на 90⁰

Выберем контрольную поверхность так, как это показано на рис. 4.6, и вычислим проекции действующих сил на оси ОХ и ОY. Имеем:

Поскольку сила тяжести направлена по оси вертикально вниз, то .

Предположим далее, что в сечении средняя скорость направлена вдоль оси ОY, а в сечении - вдоль оси ОХ. Тогда имеют место следующие равенства:

где - величина скорости , а - величина скорости . Используя эти равенства, получаем:

(4.28)

Если теперь пренебречь касательными составляющими вектора в сечениях и по сравнению с нормальными составляющими, то и можно принять в следующем виде:

Из (4.28)получаем:

(4.29)

Если, наконец, учесть, что , то получим выражения для составляющих и сил, действующих на поток жидкости, изменяющей направление на 90⁰:

(4.30)

Компоненты силы реакции, действующей со стороны жидкости на колено трубы, определяются согласно третьему закону Ньютона, как , поэтому.

(4.31)

Если изогутое колено трубопровода расположено в вертикальной плоскости, то формулы для составляющих и реакции имеют вид:

(4.32)

где - вес жидкости в трубе между сечениями 1-2.

Пример 2.Реактивная сила струи газа, вытекающей из сосуда. Вычислим силу реакции струи газа, вытекающей из сосуда, на этот сосуд. Если объем сосуда достаточно большой, то процесс истечения в течение какого-то промежутка времени газа можно считать установившимся.

Для вычисления используем теорему об изменении количества движения в форме (4.26). Контрольную поверхность выберем состоящей из двух частей: внутренней поверхности сосуда и поверхности среза сопла (рис. 4.7). Имеем:

где

Рис. 4.7. Вычисление реактивной силы истечения газа

Проектируя это равенство на ось ОХ, получим

Если считать, что скорость газа и давление распределены по сечению сопла равномерно, то

где плотность и давление газа на срезе сопла, соответственно. Из полученного уравнения находим составляющую :

.

Сила реакции струи газа, т.е. сила, действующая на сосуд со стороны истекающего газа, дается величиной с противопложным знаком:

(4.33)

На практике, однако, интерес представляет избыточная сила, действующая со стороны газа на сосуд. Если, сосуд окружен, например, воздухом с постоянным давлением _, то сила, действующая со стороны воздуха на внешнюю поверхность сосуда, выражается интегралом

Добавляя к этому выражению и вычитая из него интеграл от по сечению среза сопла, получаем:

Здесь, в частности, учтено, что интеграл по замкнутой поверхности от единичного вектора нормали к этой поверхности равен нулю. Избыточная сила, действующая со стороны газа на сосуд, равна:

(4. )

Замечание. Плотность газа на срезе сопла в общем случае не равна начальной плотности газа в сосуде и определяется режимом истечения.

Пример 3. Задача о воздейстии струи жидкости на плоскую преграду.Вычислим силу нормального давления, которое оказывает струя жидкости на плоскую преграду (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Воздействие струи жидкости на плоскую преграду

Считается, что струя жидкости вытекает из трубы с площадью поперечного сечения и имеет среднею скорость , направленную под углом к горизонту. Течение жидкости считается установившимя, сжатием струи пренебрегается.

Для расчета используем интегральную теорему об изменении количества движения в форме (4.26). Выберем контрольную поверхность , как это показано пунктирной линией на рис. 4.8, и применим к объему жидкости, заключенному внутри контрольной поверхности, теорему об изменении количества движения, спроектировав все силы на ось . Имеем:

(4.34)

Рассмотрим по отдельности слагаемые, входящие в обе части этого уравнения:

а. Поверхность состоит из двух частей: - поперечного сечения трубы, и - свободной поверхности струи. Поскольку на свободной поверхности струи , то в (4.34) остается лишь интеграл по срезу трубы:

. (4.35)

б. Поверхность также состоит из двух частей: и , через которые жидкость вытекает из контрольного объема, растекаясь по плоскости преграды. Так как скорость жидкости в этих сечениях направлена перпендикулярно оси ОХ, то , следовательно:

; (4.36)

в. Поскольку вектор силы тяжести перпендикулярен оси ОХ, то

; (4.37)

г). Вычислим составляющую сил давления струи на плоскость преграды. Имеем:

На свободной поверхности струи давление равно атмосферному . Весьма близки к атмосферному давленю также давления в сечениях , и , о чем свидетельствует отсутствие составляющих вектора скорости, перпендикулярных к нормалям этих сечений. Поэтому можно написать:

.

Добавляя и вычитая к правой части интеграл от по участку контрольной поверхности, получаем:

.

Учитывая, что интеграл от по замкнутой поверхности равен 0 (потому что алгебраическая проекция любой замкнутой поверхности на плоскость равна 0), получаем:

. (4.38)

Подставляя равенства (4.35) - (4.38) в (4.34), находим

или

.

Величина представляет собой силу, действующую со стороны преграды на жидкость. Поэтому сила давления жидкости на прегрду определяется той же величиной, но взятой с обратным знаком . Если принять, что давление с другой стороны преграды равно атмосферному, т.е. уравновешивающая сила равна произведению , то формула для силы давления струи на плоскую преграду имеет вид:

. (4.39)