Колебание одномассовой системы при наличии жесткости
Расчетная схема колебаний одномассовой системы при наличии жесткости и отсутствии демпфирования приведена на рис.11.3.
Пусть имеется масcа m, опирающаяся на упругий элемент с жесткостью СР. В неподвижном состоянии вес Р = m×g уравновешивается силой сжатой пружины
,
где Zcт – статический прогиб пружины.
Зададим массе m перемещение Z c ускорением . В результате чего возникает инерционная сила , направленная противоположно перемещению.
Перемещение массы на величину Z вызовет со стороны пружины дополнительную силу
.
Составим уравнение сил относительно вертикальной оси Z.
.
Если учесть, что имеем
.
После подстановки запишем
,
или .
Поскольку коэффициент при равен +1, поэтому выражение при Z принято , где w0 – круговая частота собственных колебаний системы при отсутствии демпфирования в рад./с.
Частота колебаний в Гц запишется
Гц .
Если учесть, что жесткость упругого элемента соответствует , тогда окончательно частота собственных колебаний рассматриваемой системы равна
Гц , (11.2)
где Zст- статический прогиб упругого элемента в см.
Дифференциальное уравнение колебаний массы m имеет вид
. (11.3)
Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка, общее решение которого будет
, (11.4)
где к1, к2 - корни характеристического уравнения.
Взяв производные с частного решения, имеем .
После подстановки этих значений в уравнение (11.4) получим характеристическое уравнение
.
Корни этого уравнения будут .
Подставив значения корней в уравнение (11.4) имеем
.
Воспользуемся преобразователем Эйлера
.
Тогда .
Для определения коэффициентов С 1 и С 2 зададимся начальными условиями.
При , Z=Zmax.
При ( T- период колебаний; Т= ; ; ; ), Z=0.
После подстановки имеем
при t=0 ; C1=Zmax.
при ; ; С2=0.
Окончательно общее решение дифференциального уравнения . (11.5)
Формула (11.5) описывает незатухающие колебания при отсутствии демпфирования.
Рис. 11.4 График функции
Таким образом, при отсутствии демфирования возникают незатухающие колебания с частотой, которая будет зависеть только от статического прогиба упругого элемента.
Дата добавления: 2016-05-11; просмотров: 1177;