Признаки сходимости Даламбера и Коши, радикальный признак Коши

Рассмотрим числовой ряд , (1) с неотрицательными или даже положительными членами . В признаке Даламбера исследуется величина , в признаке Коши под нашим микроскопом окажется величина .

Теорема 1. (Признак Даламбера) Пусть для числового ряда (1) с положительными членами выполнено, начиная с некоторого номера (при ), условие (2). Тогда ряд (1) сходится. Если же (3), то ряд (1) расходится.

Доказательство. Не теряя общности, можно считать, что условия (2), (3) выполнены для всех . Следовательно, в случае (2) , , …, ,… и положительные члены ряда (1) не превосходят членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии , . По признаку сравнения ряд (1) сходится. При выполнении условия (3) общий член ряда (1) не стремится к 0 и ряд (1) расходится по необходимому признаку сходимости. Теорема доказана.

Теорема 2. (Предельный признак Даламбера) Пусть для числового ряда (1) с положительными членами выполнено условие (4). Тогда при ряд (1) сходится, при ряд (1) расходится. Если же , то ряд (1) может и сходиться и расходиться, т. е. в этом случае требуется дополнительное исследование.

Доказательство. Пусть в условиях теоремы . Из определения предела следует, что для положительного числа найдется номер такой, что при будет выполняться условие . Это равносильно двойному неравенству , которое преобразуется к виду и по теореме 1 числовой ряд сходится. Пусть теперь . Из определения предела следует, что для положительного числа найдется номер такой, что при будет выполняться условие . Это равносильно двойному неравенству , которое преобразуется к виду и по теореме 1 числовой ряд расходится. Теорема доказана.

Теорема 3. (Признак Коши) Пусть для числового ряда (1) с неотрицательными членами выполнено, начиная с некоторого номера (при ), условие (5). Тогда ряд (1) сходится. Если же (6), то ряд (1) расходится.

Доказательство. Не теряя общности, можно считать, что условия (5), (6) выполнены для всех . Следовательно, в случае (5) и положительные члены ряда (1) не превосходят членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии , . По признаку сравнения ряд 31) сходится. При выполнении условия (6) общий член ряда (1) не стремится к 0 и ряд (1) расходится по необходимому признаку сходимости. Теорема доказана.

Теорема 4. (Предельный признак Коши) Пусть для числового ряда (1) с неотрицательными членами выполнено условие (7). Тогда при ряд (1) сходится, при ряд (1) расходится. Если же , то ряд (1) может и сходиться и расходиться, т. е. в этом случае требуется дополнительное исследование.

Доказательство. Пусть в условиях теоремы . Из определения предела следует, что для положительного числа найдется номер такой, что при будет выполняться условие . Это равносильно двойному неравенству , которое преобразуется к виду и по теореме 1 числовой ряд сходится. Пусть теперь . Из определения предела следует, что для положительного числа найдется номер такой, что при будет выполняться условие . Это равносильно двойному неравенству , которое преобразуется к виду и по теореме 1 числовой ряд расходится. Теорема доказана.

Замечание. Для полного доказательства теорем 2 и 4 надо привести 2 примера, когда и один числовой ряд сходится и другой расходится. Это соответственно ряды с общими членами и .

Приведем без доказательства еще одну теорему.

Теорема 4. (Предельный радикальный признак Коши) Пусть для числового ряда (1) с неотрицательными членами выполнено условие (7). Тогда при ряд (1) сходится, при ряд (1) расходится. Если же , то ряд (1) может и сходиться и расходиться, т. е. в этом случае требуется дополнительное исследование.