Однополостный гиперболоид

Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат, имеет вид: Будем считать, что . Также как и в предыдущем параграфе доказывается, что для однополостного гиперболоида (6) начало координат является центром симметрии (центр однополостного гиперболоида). Оси координат являются осями симметрии (главные оси), а координатные плоскости - плоскостями симметрии (главные плоскости) (См. рис. 200).

Рис. 200.

Если в уравнении (6) , то однополостный гиперболоид (6) называется однополостным гиперболоидом вращения, так как может быть получен вращением гиперболы вокруг мнимой оси (см. рис. 200).

Вершинами однополостного гиперболоида называ-ются точки пересечения гиперболоида с его главными осями. Гиперболоид (6) в случае имеет 4 вершины ; .

Плоскость пересекает однополостный гипер-болоид (6) по эллипсу, выраженному уравнениями:

, , называемому горловым эллипсом однополостного гиперболоида (6). Плоскость пересекает однополостный гиперболоид (6) по гипер-боле, выраженной уравнениями: , .

А плоскость пересекает однополостный гиперболоид (6) по гиперболе, выраженной уравнениями: , .

Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида (6) плоскостями, параллельными координатной плоскости , т.е. плоскостями . Уравнения линии сечения будут: ; . Эта система уравнений эквивалентна следующей системе: ; или

; .

Этими уравнениям выражается эллипс с полуосями , с центром на оси в точке и осями, параллельными соответственно осям и . из выражений , следует, что , , т.е. горловой эллипс является наименьшим из всех эллипсов, по которым однополостный гиперболоид (6) рассекается плоскостями, параллельными плоскости .

Плоскость , параллельная плоскости , пересекает однополостный гиперболоид (6) по линии, выражаемой уравнениями: ; . Или ; .

Если , то этими уравнениями определяется гипербола с центром в точке , лежащая в плоскости , действительная ось которой параллельна оси , а мнимая - оси . Полуоси этой гиперболы: (действительная полуось), - (мнимая полуось).

Если , то уравнения линии сечения имеет

вид: ; . Уравнения ; являются уравнениями двух пересекающихся прямых и : , - прямая ; , - прямая .

Аналогично уравнения ; являются уравнениями двух пересекающихся прямых: , и , .

Если , то в сечении получается гипербола, уравнения которой: ; .

Действительная ось этой гиперболы параллельна оси , мнимая - оси , центр лежит в точке .

Асимптоты всех гипербол, получающихся при пересечении однополостного гиперболоида (6) плоскостями , параллельны прямым, получающимся при пересечении гиперболоида плоскостями .

Сечения плоскостями , параллельными плоскости аналогичны рассматриваемым. Все эти сечения дают представление о форме поверхности однополостного гиперболоида (см. рис. 201).

Всякий однополостный гиперболоид можно получить из однополостного гиперболоида вращения: , производя равномерное сжатие . , к плоскости . Однополостный гиперболоид (6) можно получить из равностороннего гиперболоида вращения:

, производя равномерные сжатия , , соответственно к плоскостям , и с коэффициентами сжатия .