Двуполостный гиперболоид.

Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат, имеет вид: Начало координат является центром симметрии (центр) двуполостного гиперболоида. Оси координат - осями симметрии (главные оси), координатные плоскости - плоскостями симметрии (главные плоскости).

Если в уравнении (7) , то двуполостный гиперболоид называется гиперболоидом вращения, так как может быть получен вращением гиперболы: вокруг его действительной оси (см. рис. 202).

Рис. 202

Рис. 203

Вершинами двуполостного гиперболоида называются точки его пересечения с главной осью . Двуполостный гиперболоид (7) имеет две вершины .

Плоскости и пересекает двуполостный гиперболоид (7) по гиперболам: , , и , .

Сечения двуполостного гиперболоида (7) плоскостью выражается уравнениями:

; .

Если , то первое уравнение не имеет действительных решений - плоскость не пересекает поверхности.

Если , то , откуда , т.е. это две точки .

Если , то уравнение линии пересечения можно переписать в виде:

; .

Этими уравнениями выражается эллипс с полуосями , с центром в точке и осями, соответственно параллельными осям и .

Плоскость пересекает поверхность двуполостного гиперболоида (7) по линии, выражаемой уравнениями: ; .

Или ; ,

т.е. по гиперболе с центром в точке , лежащей в плоскости . Действительная ось этой гиперболы, параллельна оси , мнимая - оси .

Аналогично исследуются сечения поверхности (7) плоскостями (см. рис. 203).

Двуполостный гиперболоид можно получить из двуполостного гиперболоида вращения: , производя равномерное сжатие . , к плоскости . Двуполостный гиперболоид (7) можно получить из равностороннего двуполостного гиперболоида враще-ния: , производя равномерные сжатия , , соответственно к плоскостям , и с коэффициентами сжатия .