Касательная плоскость к поверхности второго порядка
Определение. Точка , лежащая на поверхности второго порядка, заданной относительно ОДСК общим уравнением (1) называется неособой, если среди трёх чисел:
есть хотя бы одно, не равное нулю.
Таким образом, точка , лежащая на поверхности второго порядка, является не особой тогда и только тогда, когда она является её центром, иначе, когда поверхность коническая, а точка
- вершина этой поверхности.
Определение. Касательной прямой к поверхности второго порядка в данной на ней не особой точке называется прямая, проходящая через эту точку, пересекающая поверхность второго порядка в дву-кратной точке или являющаяся прямолинейной образующей поверхности.
Теорема 3. Касательные прямые к поверхности второго порядка в данной на ней не особой точке лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью к поверхности в рассматриваемой точке. Уравнение касательной плоскости имеет
вид:
Доказательство. Пусть ,
,
параметрические уравнения прямой, проходящей через неособую точку
по-верхности второго порядка, заданной уравнением (1). Подставляя в уравнение (1)
,
,
вместо
,
,
, получим:
Так как точка
лежит на поверхности (1), то
и из уравнения (3) находим
(это значение
соответствует точке
). Для того, чтобы точка пересечения прямой с поверхностью (1) была двойной, или чтобы прямая целиком лежала на поверхности, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:
Если при этом:
, то точка пересечения прямой линии с поверхностью (1) двойная. А если:
, то прямая целиком лежит на поверхности (1).
Из соотношений (4) и ,
,
следует, что координаты
,
,
любой точки
, лежащей на любой касательной к поверхности (1) удовлетворяют уравнению:
Обратно, если координаты какой-нибудь точки , отличной от
, удовлетворяют этому уравнению, то координаты
,
,
вектора
, удовлетворяют соотношению (4), а это значит, что прямая
- касательная к рассматриваемой поверхности.
Так как точка - неособая точка поверхности (1), то среди чисел
,
,
есть по крайней мере одно, не равное нулю; значит уравнение (5) есть уравнение первой степени относительно
. Это и есть уравнение плоскости, касательной к поверхности (1) в данной на ней не особой точке
.
Исходя из канонических уравнений поверхностей второго порядка легко составить уравнения касательных плоскостей к эллипсоиду, гиперболоиду и т.д. в данной на них точке .
1). Касательная плоскость к эллипсоиду:
.
2 ). Касательная плоскость к одно и двуполостному гиперболоидам:
.
3 ). Касательная плоскость к эллиптическому и гиперболическому параболоидам:
.
§ 161.Пересечение касательной плоскости с поверхностью второго порядка.
Примем неособую точку поверхности второго порядка за начало координат ОДСК, оси
и
расположим в плоскости касательной к поверхности в точке
. Тогда в общем уравнении поверхности (1) свободный член равен нулю:
, а уравнение плос-кости, касающейся поверхности в начале координат, должно иметь вид:
.
Но уравнение плоскости, проходящей через начало координат имеет вид: .
И, так как это уравнение должно быть эквивалентно уравнению , то
,
,
.
Итак, в выбранной системе координат уравнение поверхности (1) должно иметь вид:
Обратно, если
, то уравнение (6) является уравнением поверхности, проходящей через начало координат
, а плоскость
- касательная плоскость к этой поверхности в точке
. Уравнение линии, по которой касательная плоскость к поверхности в точке
пересекает поверхность (6) имеет вид:
;
.
Если . Это инвариант
в теории инвариантов для линий второго порядка. Уравнение
(7)
- это же линия второго порядка. По виду этой линии инвариант , поэтому:
При здесь две мнимые пересекающиеся прямые.
При - две действительные пересекающиеся прямые.
Если , но хотя бы один из коэффициентов
,
,
не равен нулю, то линия пересечения (7) - две совпадающие прямые.
Наконец, если , то плоскость
входит в состав данной поверхности, а сама поверхность распадается, следовательно, на пару плоскостей
§ 162.Эллиптические, гиперболические или параболические точки поверхности второго порядка.
1. Пусть касательная плоскость к поверхности второго порядка в точке пересекает её по двум мни-мым пересекающимся прямым. В этом случае точка
называется эллиптической точкой поверхности.
2. Пусть касательная плоскость к поверхности второго порядка в точке пересекает её по двум действительным прямым, пересекающимся в точке касания. В этом случае точка
называется гиперболической точкой поверхности.
3. Пусть касательная плоскость к поверхности второго порядка в точке пересекает её по двум совпадающим прямым. В этом случае точка
называется параболической точкой поверхности.
Теорема 4. Пусть поверхность второго порядка относительно ОДСК задана уравнением (1) и данное уравнение (1) является уравнением действительной нераспадающейся поверхностью второго порядка. Тогда, если ; то все точки поверхности эллиптические.
Доказательство. Введём новую систему координат , выбирая за начало координат любую неособую точку
данной поверхности и располагая оси
и
в плоскости, касательной к поверхности в точке
. Уравнение (1) в новой системе координат
преобразуется к виду:
где
. Вычислим инвариант
для этого уравнения
.
Так как при переходе от одной ОДСК к другой ОДСК знак не меняется, то знаки
и
противоположны, поэтому, если
, то
; и, как следует из классификации (см. § 161) касательная плоскость к поверхности в точке
пересекает поверхность по двум мнимым пересекающимся прямым, т.е.
- эллиптическая точка.
Если , то
, касательная плоскость к по-верхности в точке
пересекает её по двум прямым, пересекающимся в точке
; точка
- гиперболическая.
Если, наконец, , то и
, касательная плоскость к поверхности в точке
пересекает её по паре совпадающих прямых; точка
- параболическая.
Ограничиваясь действительными нераспадающимися поверхностями второго порядка и вычисляя , например, по каноническим уравнениям этих поверхностей, убедимся в том, что:
1) Эллипсоид, двуполостный гиперболоид и эллиптический параболоид состоят из эллиптических точек.
2) Однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид состоят из гиперболических точек.
3) Действительный конус второго порядка (вершина исключается), эллиптический (действительный), гиперболический и параболический цилиндры состоят из параболических точек.
Параболический цилиндр.
Чтобы определить расположение параболического цилиндра, достаточно знать:
1) плоскость симметрии, параллельную образующим цилиндра;
2) касательную плоскость к цилиндру, перпендикулярную к этой плоскости симметрии;
3) вектор, перпендикулярный к этой касательной плоскости и направленный в сторону вогнутости цилиндра.
В случае, если общее уравнение определяет параболический цилиндр, оно может быть переписано в виде:
или
Подберем m так, чтобы плоскости
были бы взаимно перпендикулярными:
откуда
При этом значении m плоскость
будет плоскостью симметрии, параллельной образующим цилиндра.
Плоскость
будет касательной плоскостью к цилиндру, перпендикулярной к указанной плоскости симметрии, а вектор
будет перпендикулярен к найденной касательной плоскости и направлен в сторону вогнутости цилиндра.
Дата добавления: 2016-04-14; просмотров: 1392;